2022-2023学年北师大版（2019）必修二 第六章立体几何初步 单元测试卷（含答案）
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北师大版（2019）必修二 第六章立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知四棱锥的体积是，底面ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
2、已知正三棱锥的四个顶点都在球O上，的外接圆半径为1，三棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
3、已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4、m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，则
C.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则m，n，l共面
D.若，，，则
5、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,E,F分别是PA,AB的中点,,,,则球O的体积为( )
A. B. C. D.
6、三棱锥中,平面BCD,.若,,则该三棱锥体积的最大值为( )
A.2 B. C.1 D.
7、四棱锥的底面为正方形, 平面ABCD, 顶点均在半径为 2 的球面 上, 则该四棱锥体积的最大值为( )
A. B. 4 C. D. 8
8、已知AB，CD是圆锥SO底面圆的两条相互垂直的直径，，四棱锥的侧面积为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
9、过圆锥的轴作截面，如果截面三角形为正三角形，则称圆锥为等边圆锥.已知一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，O为底面圆的圆心，若，且，那么这个等边圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
10、已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积等于( )
A. B. C. D.4
二、填空题
11、已知四棱锥的顶点都在球O 的球面上, 底面ABCD 是边长为 2 的正方形, 且 平面ABCD. 若四棱锥的体积为, 则球O的表面积为_________.
12、已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB的夹角为,PA与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为_____________.
13、已知P，A，B，C，D都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为____________.
14、在等腰梯形ABCD中，，，O为AB的中点.将沿OC折起，使点B到达点的位置，则三棱锥外接球的表面积为_______；当时，三棱锥外接球的球心到平面的距离为_______.
15、已知是球O的内接三棱锥,,则球O的表面积为_______________________.
16、在三棱锥中，，平面，三棱锥的顶点都在球O的球面上.若三棱锥的体积为，则球O的表面积为___________.
三、解答题
17、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，
（1）求证：平面平面BCF.
（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
18、如图所示多面体中, 底面 是边长为 3 的正方形, 上平面 是 上一点,.
(1)求证: 平面;
(2)求此多面体的体积.
19、图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE.
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
20、等积转换法是求锥体体积的常用方法，特别是当题目中某些点是不固定的点时，常用等积转换固定一个面，再进行求值.在解题过程中主要考查直观想象和数学运算的核心素养.把本例改为：如图所示，正方体的棱长为1，E，F分别为线段上的点，求三棱锥的体积.
参考答案
1、答案：A
解析：由已知可得，则，设球心为O，O到平面ABCD的距离为x，球O的半径为R，则由，得，解得，所以，.故选A.
2、答案：A
解析：设的外接圆的圆心为，连接，由于正三角形ABC的外接圆半径为1，所以正三角形ABC的边长为，三棱锥的体积，得.设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积.故选A.
3、答案：A
解析：在中，，，，所以；同理，，过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为，故，故平面ABD，且为等腰三角形.因为，故，则的面积为，则三棱锥的体积为.
4、答案：D
解析：对于选项A，若成立还需要添加条件，故A不正确；对于选项B，由，，还可能得到m，n是异面直线，故B不正确；对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确；对于选项D，，，，又，，故选D.
5、答案：B
解析:略
6、答案：D
解析:平面BCD,平面BCD,,,,平面ACD,平面BCD,,在中,,,
则,平面BCD,平面BCD,,在中,设,,则由,得,,当且仅当,且,即时,等号成立,,
该三棱锥体积的最大值为.故选:D.
7、答案：C
解析：设正方形ABCD的外接圆的半径为r, 球心O 到平面 ABCD的距离为d, 则 , 且正方形ABCD的面积为, 四棱锥的体积为, 设, 则, 于是在单增, 单 减, 从而, 于是.
8、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r，则，，解得，圆锥的母线，高，则圆锥体积.故选A.
9、答案：B
解析：如图，连接PO，设圆锥的母线长为2a，则圆锥的底面半径为a，圆锥的高，由已知得，，则，得，故圆锥的体积为.故选B.
10、答案：A
解析:如图,
连接AC,BD,设AC与BD相交于O,连接SO,则SO为正四棱锥的高,由正四棱锥的底面边长为2,得,又侧棱长,高,
该正四棱锥的体积等于Error! Digit expected.,故选:A.
11、答案：
解析：由题意, 画出示意图如图: 则正方形ABCD 面积,
四棱锥的体积，, ，球 O的半径
球 O的表面积:.
故答案为:
12、答案：
解析:圆锥的顶点为P,母线PA,PB的夹角为,得.
由的面积为,得,解得:.
因为PA与圆锥底面所成角为,可得圆锥的底面半径为:,
则该圆锥的侧面积为:.
故答案为:.
13、答案：
解析：如图，过点P作于Q，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，故四棱锥的体积最大，即PQ最大，，PQ最大，即面积最大，由，，得，，得，当且仅当时取等号，此时面积最大，为等边三角形，取的外心为，正方形ABCD的外心为，过，分别作所在平面的垂线，交点为O，O即为四棱锥外接球的球心，四边形为矩形，，，设外接球半径为R，则.故答案为：.
14、答案：；
解析：等腰梯形ABCD中，，，O为AB的中点.
，，为等边三角形，，三棱锥外接球的球心为O，半径为1，；
连BD与OC交于M，则，，，所以为二面角的平面角，又，又，二面角为，
到平面COD的距离为，在中，，，，，设球心O到平面的距离h，由，得，，解得，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离为.
15、答案：
解析:取BC,AD的中点M,N,因为,,所以,,所以平面AMD,
MN既是BC,又是AD的垂直平分线,所以三棱锥的外接球的球心在MN上,
且平面平面BCD,
点E是的中心,,,且,
,,所以,所以,解得:,
则三棱锥外接球半径,
则球的表面积.
故答案为:
16、答案：
解析：依题意设，则，即，解得，设外接圆的半径为r，则，设三棱锥外接球的半径R，则，所以球O的表面积；
故答案为：
17、
（1）答案：见解析
解析：如图，矩形ABCD中，，
平面平面
平面平面ABEF，
所以平面ABEF
又平面ABEF
，又AB为圆O的直径，
则
，BC，平面BCF，
所以平面BCF，且平面ADF
所以平面平面BCF.
（2）答案：6
解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H
平面平面ABEF，平面ABCD
则，，
所以.
18、答案：(1)见解析(2)
解析：(1) 证明: 过点 作, 交 于点, 则
因为, 所以, 且, 所以四边形 为平行四边形,所以. 又 平面 丈平面, 所以 平面.
(2) 因为 平面 平面, 所以, 因为, 所以 平面.
所以, ,
即此多面体的体积为
19、答案：(1)见解析.
(2)面积为4.
解析：(1)由已知得，
所以，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得，故平面BCGE.
又因为平面ABC，所以平面平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为平面BCGE，
所以平面BCGE，故.
由已知，四边形BCGE是菱形且得，
故平面DEM.
因此.
在中，，故.
所以四边形ACGD的面积为4.
20、答案：.
解析：.
