高中数学高考 2021届高三大题优练10 导数之零点个数问题（文） 教师版(1)

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     例1．已知函数，（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）定义域为，，令，解得．当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，若时，；若时，，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）令，则，过点作的切线，设切点为，则切线斜率，解得，切线斜率，若有两个零点，则与有两个不同的交点，如下图所示：由图象可知：当时，与有两个不同的交点，即若函数有两个零点，的取值范围为．例2．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．【答案】（1）；（2）正整数的最小值为．【解析】（1）当时，，，则，又，在处的切线方程为，即．（2），当时，由，得．①当时，在上恒成立，在上单调递增，至多一个零点，不合题意；②当时，若，则；若，则，在上单调递减，在上单调递增，．当时，；当时，，有两个零点，则，即，设，则，在上单调递减，又，，，使得，当时，；当时，，的解集为，又，正整数的最小值为．例3．已知函数，其中．（1）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；（2）讨论在区间上的零点个数．【答案】（1）或；（2）答案见解析．【解析】（1）由已知，可得．①若，则当时，恒成立，∴在上单调递增，与存在极值点矛盾；②若，则由，得．∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴存在唯一极小值点，∴，∴或．（2）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．∵，，（i）当时，；（ii）当时，，∴，∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；②当时，∵当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴．（i）当时，，此时在上有1个零点；（ii）当时，，此时在上无零点；（iii）当时，，．（a）当，即时，在上有1个零点；（b）当，即时，在上有2个零点；③当时，在上恒成立，在上单调递减．∵，，∴在上有1个零点，综上，当时，在上无零点；当或或时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点． 
1．已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若有2个极值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意得，，，，则切线方程为．（2）有2个极值点，则有2个零点（且左右异号），则在上有2解，令，，则，又在上单调递增，，则当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故最小值为，则．2．已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，，，，∴切线方程为，即．（2）函数的定义域是，令，则．设，，则与的图象在上有两个交点．，令，则，当，；当时，，在上单调递增，在单调递减，．，当时，，∴的取值范围是．3．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）求导：，由已知有，即，所以，则，所以切点为，切线斜率，故切线方程为．（2）的定义域为且，若，则当时，，故在上单调递增；若，则当，；当，，故在上单调递增，在上单调递减．（3），所以，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又，，故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增，又，，所以在内存在唯一根，由，得，又，故是在上的唯一零点．综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．4．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若在内有且仅有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，所以．（ⅰ）当时，由，得，则的减区间为；由，得或，则的增区间为和；（ⅱ）当时，，则的增区间为；（ⅲ）当时，由，得，则的减区间为；由，得或，则的增区间为和．（2），在内有且仅有一个零点，即关于方程在上有且仅有一个实数根．令，，则，令，，则，故在上单调递减，所以，即当时，，所以在上单调递减．又，，则，所以的取值范围是．5．已知函数 (且)．（1）当时，求函数的最值；（2）设是的导函数，讨论函数在区间零点的个数．【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）答案见解析．【解析】（1）当时，，，令，得，显然在单调递增，当时，；当时，，所以，在单调递减，在单调递增，则的最小值为，无最大值．（2），（i）若，在恒成立，此时在没有零点．（ii）若，，所以在单调递增．，令，因为，所以在单调递减，故，所以；，①当时，，在没有零点；②当时，，在有且只有1个零点，综上所述：若或，在没有零点；若，在有且只有1个零点．6．已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数无极值；当时，，若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极小值为，无极大值；若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极大值为，无极小值．（2）令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，由题可知：在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个根，等价于函数与函数的图象在只有一个交点，，令，则，，当时，，所以在单调递增，则，所以在单调递增，则，所以在单调递增，所以，所以．7．已知是自然对数的底数，函数，其中．（1）当时，若，求的单调区间；（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）当时，，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2），，所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，设，则与两个函数图象有三个不同的交点，因为，令，得，且，当时，，单调递增且，当时，，单调递减且，当时，，单调递增且，作出其图象如图所示：当时，，由图知当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，所以的取值范围是．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【解析】（1）的定义域为，且，当时，，此时，在上单调递增；当时，；，即在上单调递增，在上单调递减，综上可知：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，，当时，，函数至多有一个零点，不合题意；当时，，由于，且，由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，由于，且（由于）由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，所以实数的取值范围是．