高中数学高考 2021届高三大题优练12 导数极值点偏移问题（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练12 导数极值点偏移问题（理） 学生版(1)，共11页。试卷主要包含了已知函数有两个零点，，已知函数，设函数等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知函数有两个零点，．（1）求a的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）有两个零点有两个相异实根．令，则，由，得；由，得，在单调递增，在单调递减，，又，当时，；当时，，当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为．（2）不妨设，由题意得，，，，要证：，只需证．，令，，只需证，，，只需证：．令，，在递增，，成立．综上所述，成立．例2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，是方程的两个不同实根，证明：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：因为，所以．①当时，在上恒成立，故在上单调递减；②当时，由，得；由，得，即在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：因为，所以，，即．设，则，故在上单调递减，在上单调递增．由题意不妨设，欲证，只需证，又，，在上单调递增．故只需证．因为，所以只需证对任意的恒成立即可，即，整理得，即．设，，则．因为，所以，所以，所以在上单调递减，则，所以成立． 
1．已知函数，．其中，为常数．（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．               2．已知函数，．（1）若在内单调递减，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点分别为，，证明：．                3．已知函数．（1）求函数的极值；（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证：．               4．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设，是的两个零点，证明：．      
1．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，所以在内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知，解得，即实数的取值范围为．（2），当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，函数取得最小值，当时，，，函数无零点，不合题意；当时，，，函数仅有一个零点，不合题意；当时，，，又，所以在上只有一个零点，令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点，所以满足题意；不妨设，则，，令，则，，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，因为，所以，所以，又，，且在上单调递增，所以，故得证．2．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（I）由题可知，，在内单调递减，∴在内恒成立，即在内恒成立，令，则，∴当时，，即在内为增函数；当时，，即在内为减函数，∴，即，，∴．（2）若函数有两个极值点分别为，，则在内有两根，，，两式相减，得，不妨设，当时，恒成立；当时，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令，，在上单调递减，，，即成立，．3．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴，变化时，与变化情况如下－0+单调递减极小值单调递增∴当时，有极小值为，∴极小值为，无极大值．（2）由时，，设，由（1）知，，，欲证：，需证：，由，，且在是单调递减函数，即证：，∵，即证：，令，，，当时，，∴单调递增，∴，∴时，，由时，∴，∴，得证．4．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，所以，所以当时，，函数在上单调递增；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增，综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，是的两个零点，，不妨设，令，则，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，即，所以，又，，函数在上单调递增，所以，即．