高中数学高考 2021届高三大题优练13 坐标系与参数方程（理） 教师版(1)

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     例1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于极点，且，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为；曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．（2）曲线的参数方程为（为参数），转换为极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于极点，且，∴，，整理得，解得．例2．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线与直线交于点．（1）求点的直角坐标；（2）若直线与圆（为参数）交于两点，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）直线的直角坐标方程为①，直线的直角坐标方程为②，联立①②解方程组得，所以点的直角坐标为．（2）直线的直角坐标方程为，倾斜角为120°，所以直线的参数方程为（为参数）①，圆的普通方程为②，将①代入②，得．设点对应的参数分别为，则．例3．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）过曲线上任意一点P作与夹角为60°的直线，交于点A，求的最大值与最小值．【答案】（1），；（2）最小值为，最大值．【解析】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为．（2）曲线上任意一点到的距离为，则，当，取得最小值，最小值为；当，取得最大值，最大值为．  
1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），又以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程，若原点在曲线C的内部，则求实数的取值范围；（2）当时，直线l与曲线C交于M、N两点，又点P为此时曲线C上一动点，求面积的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）将曲线C的参数方程，消去参数，可得普通方程为，即，将，代入可得曲线C的极坐标方程为，若原点在曲线C的内部，则，解得；（2）当时，圆C的方程为，圆心为，半径，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，由，得，设，，则，，，要使面积最大，只需点P到直线的距离最大，圆心到直线的距离，则点P到直线的最大距离为，所以面积的最大值为．2．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标．【答案】（1）和；（2）最小值为1，．【解析】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为，所以联立，，得或，所以所求交点的极坐标为和．（2）直线的直角坐标方程为，“四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得，连接且与直线垂直且交于点，所以点与点M的距离的最小值为1．3．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，求的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由曲线的参数方程（为参数）得：，∴曲线的直角坐标方程为．又由，，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为．（2）在极坐标系内，可设，，则，，，（当时取等号，符合题意）∴的最大值为．4．直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数）．（1）求直线的普通方程，说明C是哪一种曲线；（2）设分别为和C上的动点，求的最小值．【答案】（1），曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（2）．【解析】（1）由题得直线，曲线，即，所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆．（2）设，则就是点N到直线的距离，（的终边在第一象限且）当时，．5．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）∵，，∴，的普通方程为，由，可得，故的普通方程为．（2）的参数方程为（为参数），将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，令，，由韦达定理得，则有．6．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，，求的值．【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为，所以①，②，②①，得．曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），代入，得到和为点和对应的参数），所以，，所以．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，．（1）若，求；（2）设点，求的最小值．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）由曲线的极坐标方程得，化为直角坐标方程为，即．将直线的参数方程代入其中，得．当时，上述方程即，解得，，所以．（2）由根与系数的关系可知：，，所以，其中，当时取等号，所以的最小值为．8．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，即，则，故曲线的极坐标方程为．（2）设，则，故，因为点在曲线上，则，，故，，故时，取到最大面积为．