高中数学高考 2021届高三大题优练14 不等式选讲（理） 教师版(1)

例1．设函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）若，，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，；

当时，；

当时，，

综上，当时，，∴．

（2）由（1）知，求证．

∵，，∴，，

∴．

当且仅当，即时，等号成立．

例2．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）使得成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）等价为或或，

解得或或，

则原不等式的解集为．

（2）成立即为，

若，则不成立；

由，当时取得等号；

当，即有，即；

当，即有，即，

综上可得，的取值范围是．

例3．（1）已知，证明：；

（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为，

所以．

所以要证，只需证．

因为，

所以．

因为，所以，

所以．

（2）解：设，则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”．

当时，，此时，

要使恒成立，必须，解得；

当时，，即，显然不恒成立；

当时，，此时，

要使恒成立，必须，解得，

综上所述，实数的取值范围为．

例4．设，，均为正实数，且．

（1）证明：；

（2）求的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为．

【解析】（1）证明：因为，，，

所以，即，

当且仅当时，等号成立，所以不等式得证．

（2）解：由柯西不等式，得，

当且仅当，即，时，等号成立．

因为，所以，

则，

故的最大值为．

1．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，则等价于．

当时，则有，解得，此时；

当时，则有，解得，此时；

当时，则有，解得，此时，

综上所述，当时，不等式的解集为．

（2）当时，不等式成立等价于当时，成立．

若，则当时，恒成立；

若，则当时，，不合乎题意；

若，由，可得或，解得或，

由题意可得，则，解得，

综上所述，实数的取值范围是．

2．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，不等式即为①

当时，①化为无解；

当时，①化为，从而；

当时，①化为无解，

∴原不等式的解集为．

（2），

，

当且仅当，即，时等号成立，

∴，∴或，

∴的取值范围为．

3．已知实数，满足．

（1）若，，求证：；

（2）设，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）时，，因为，

所以

，

，，

，，

从而，

当且仅当，即时等号成立．

（2）假设，则由，知，故．

又由，得，

但由，知矛盾，

故不成立，所以．

4．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），即，

所以或或，

解得或或，即或，

所以原不等式的解集为．

（2），即．

因为不等式的解集包含，

所以对于恒成立．

因为，所以，，

所以等价于，即恒成立，

所以在上恒成立，

所以，解得，

即实数的取值范围为．

5．（1）已知函数，求的取值范围使为常函数；

（2）若，，求的最大值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】（1），

则当时，为常函数．

（2）由柯西不等式得，

所以，

当且仅当，即，，时，取最大值，

因此的最大值为3．

6．（1）已知，求证：．

（2）已知，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）1．

【解析】（1），，

，

当且仅当，即时，等号成立．

（2）由柯西不等式知，，

，

当且仅当时取等号，即的最小值为1．