高中数学高考 2021届好教育云平台泄露天机高考押题卷 理科数学 教师版(1)

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】集合，

故其真子集的个数为个，故选A．

2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，

故选B．

3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，

可得，所以，解得，故选A．

4．已知向量，，且，则（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】D

【解析】由，

因为，所以，所以，故选D．

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，

令，则，故为上的奇函数，

故的图象关于对称，故排除C；

又当时，令，则，

故，故当时，，故排除D；

而，故排除A，

故选B．

6．已知，，则“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要  B．必要不充分

C．充分必要  D．既不充分也不必要

【答案】A

【解析】表示顶点分别为的椭圆上及椭圆内部区域内的点，

表示顶点的菱形上以及菱形内部区域内的点，

故可得是的充分不必要条件，故选A．

7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，且，，则

C．若，且，则

D．若，，则

【答案】C

【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；

B选项，由题得或相交，所以该选项错误；

C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；

D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，

故选C．

8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，

∴直线经过圆心且直线与直线垂直，

∴，解得，故选B．

9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，

有，

解得，，，

可化为，有，

有，得，

又由，有，故选C．

10．在体积为8的正方体内部任意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作与正方体每个面平行且距离为的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当点落在小正方体内部时，能使四棱锥，，，，，的体积大于，

根据几何概型概率公式知，故选D．

11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为（其中）．

令，，因为，所以．

因为，且，所以，，

故，即．

当时，单调递减，

因为，，

所以，故选D．

12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，则，

由余弦定理得，

即，

所以，

因为，

所以，

整理得，即，整理得，

所以，，，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为________．

【答案】27

【解析】由，所以的系数为27，

故答案为27．

14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．

【答案】

【解析】令，则；

令，解得或，

即或，解得或，

故的取值范围是．

15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．

【答案】6

【解析】因为，

所以，即，

所以可得，所以，解得，

当且仅当时等号成立，

故，所以的周长的最大值为6．

16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】因为；

易得为奇函数，且为增函数；

又因为，

所以在上恒成立在上恒成立，

所以在上恒成立，所以在上恒成立，

设，所以，且，

当时，，所以在上递增，所以，满足；

当时，令，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，这与矛盾，所以不满足，

综上可知，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列满足，．

（1）证明：数列为等差数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）依题，在两边同时除以，

得，，

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）得，可得，

所以，

则数列的前项和，

所以，

令①，

则②，

由①—②可得，

所以，

所以．

18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．

（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；

（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？

（参考公式：，期中）

【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）分布列见解析，期望为；（3）填表见解析，有的把握认为．

【解析】（1）由题意知，

解得，

样本平均数为，

中位数650，众数600．

（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，

随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．

，

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望．

（3）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；

，

所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．

19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】证明：连接BD，依题可得，，

∴，∴，

又四边形EDCF为矩形，平面平面，

∴平面，∴，

∵，∴平面，

∴平面平面．

（2）取中点G，连接．

如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

，不妨设，，则，

；

设平面的一个法向量为，

，不妨设，则，，

，

设向量与的夹角为，则，

，

∴二面角的余弦值为．

20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】依题可知，，

所以，即，

解得①

又椭圆过点，②，

联立①②可得，，

椭圆的标准方程为．

（2）设点、，，

由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，

联立，可得，

由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，

由韦达定理可得，，

，，，

得，，

，，

．

21．（12分）已知函数．

（1）试讨论函数的零点个数；

（2）设，为函数的两个零点，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；

当时，；

当时，，

所以当时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，有一个零点；

当时，没有零点．

（2）由题意可得函数的定义域为，

，

设，所以，

所以函数在上单调递增，

又，列表如下：

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

设，可得，，

因为，

所以

，

设函数，则，

函数在上单调递增，

所以，

所以，即，

又函数在上单调递减，

所以，所以．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；

（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，

即，

由极坐标与直角坐标的互化公式，，

得曲线的极坐标方程为，

直线的极坐标方程为．

（2）设，，

将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，

得，

所以，

所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）16．

【解析】（1）由，

所以①；

②；

③，

综上所述，

所以不等式的解集为．

（2）因为，

所以函数的最小值为8，即，所以，

由，，为正实数，

则，

所以，当且仅当时，取等号，

故的最小值为16．