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2021年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则在复数平面的点位于第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【解析】，

所以复数在复数平面内对应的点为，位于第二象限，故选B．

2．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】集合，

故其真子集的个数为个，故选A．

3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，

可得，

所以，解得，故选A．

4．在中，已知为上一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，

故选D．

5．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ）

A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4

【答案】B

【解析】

，

，

故选B．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，

令，则，

故为上的奇函数，

故的图象关于对称，故排除C；

又当时，令，则，

故，故当时，，故排除D；

而，故排除A，

故选B．

7．已知，，则“存在使得”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为余弦函数的周期为，最大值为2，最小值为，

所以对于函数，，

若存在使得，

则当时，函数的值域为，∴；

另一方面，，不妨取，

则不存在，使得，

故“存在使得”是“”的充分不必要条件，

故选A．

8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，且，，则

C．若，且，则

D．若，，则

【答案】C

【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；

B选项，由题得或相交，所以该选项错误；

C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；

D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，

故选C．

9．投两枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数之和为偶数”，记事件为“向上的点数之和为3的倍数”，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】投两枚质地均匀的骰子总的可能发生的情况有种，

其中点数之和为偶数的可能情况有18种，

点数之和为3的倍数的可能情况为，，，，，，，，，，，，总共12种，

所以，，，故选B．

10．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（    ）

①（）为等差数列；

②为等比数列；

③为等比数列；

④为等差数列；

⑤为等比数列．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】设数列的公差为，数列的公比为，

对于①：，故①正确；

对于②：，故②正确；

对于③：，故③正确；

对于④：不为定值，故④错误；

对于⑤：，故⑤正确，

所以正确的个数有4个，故选C．

11．已知直线与圆相交于两点，且这两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，

∴直线经过圆心且直线与直线垂直，

∴，解得，故选B．

12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，则，

由余弦定理得，

即，

所以，

因为，

所以，

整理得，即，整理得，

所以，，，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．下列三句话按“三段论”模式排列顺序是_________．

①（）是三角函数；②三角函数是周期函数；③（）是周期函数．

【答案】②①③

【解析】三段论为：大前提，小前提，结论，

所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数．

故选②①③．

14．若函数的值域为，试确定的取值范围是___________．

【答案】

【解析】令，则；

令，解得或，

即或，解得或，

故的取值范围是．

15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．

【答案】6

【解析】因为，

所以，即，

所以可得，所以，

解得，当且仅当时等号成立，

故，所以的周长的最大值为6．

16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】因为，

易得为奇函数，且为增函数；

又因为，

所以在上恒成立在上恒成立，

所以在上恒成立，所以在上恒成立，

设，所以，且，

当时，，所以在上递增，所以，满足；

当时，令，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，这与矛盾，所以不满足，

综上可知：，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列满足，．

（1）证明：数列为等差数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）依题，在两边同时除以，

得，，

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）得，可得，

所以，

则数列的前项和为①，

所以②，

由①—②可得，

所以．

18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．

（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？

（参考公式：，期中）

【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）填表见解析，有的把握认为．

【解析】（1）由题意知，

解得，

样本平均数为，

中位数650，众数600．

（2）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；

，

所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．

19．（12分）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接，∵，，

平面，平面，

平面．

（2）设点到平面的距离为，点到平面的距离为，

∵，∴，

依题可得，

又平面，∴，

∴，

∵四边形为正方形，∴，

又平面，所以，

∵，∴平面，所以，

依题可得，∴，∴，

即点到平面的距离为．

20．（12分）已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．

【答案】（1）；（2）直线恒过定点，定点为．

【解析】（1）因为椭圆的离心率．

所以，即，

又椭圆的短轴长为2，所以，，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，，，

联立方程组，消去，得，

，即，

，，

因为所在的直线与所在的直线关于轴对称，

所以，

，

即，

得，

化简得，直线的方程为，

所以，直线恒过定点．

21．（12分）已知函数（）．

（1）若函数在处取得极小值，求在点处的切线方程；

（2）当时，若，恒有，则实数的取值范围是多少？

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

由题意可得，即，解得，

所以，

所以，，

所以在点处的切线方程为．

（2）当时，，

又，

不等式等价于，

可化为为，

令，

由题可得对，，当时，不等式恒成立，

即在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，所以实数m的取值范围为．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；

（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，即，

由极坐标与直角坐标的互化公式，，

得曲线的极坐标方程为，

直线的极坐标方程为．

（2）设，，

将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，

得，

所以，

所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，若，，为正实数且，证明．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，

所以①；

②；

③，

综上所述：，

所以不等式的解集为．

（2）证明：∵，

∴函数的最小值为8，即，所以，

由，，为正实数，

∴，

当且仅当时，即，，时等号成立，

∴．