高中数学高考 2021届小题必练4 不等式（文）-教师版(1)

1．不等关系

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的实际背景．

2．一元二次不等式

（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

3．基本不等式：

（1）了解基本不等式的证明过程．

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

高考中关于不等式的小题，大都出现在集合或者与函数相结合的考试中，难度不大，在集合中的不等式常见的如一元二次不等式，绝对值不等式，分式不等式以及指数对数不等式的形式出现，也有单独考察不等式的性质比较大小的题型，在函数中多以函数的性质比较大小或者利用基本不等式求最值情况，难度中等．

1．【2020全国Ⅰ卷】已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，解得，所以，

又因为，所以，故选D．

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交集运算，属于基础题目．

2．【2020全国Ⅱ卷】已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

或，

所以，故选D．

【点睛】本题考查绝对不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题．

一、选择题．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

因此，，故选C．

2．如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于选项A，当时，，故选项A错误；

对于选项B，当，，时，错误；

对于选项C，当，，时，错误；

对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确，

故选D．

3．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为是与的等比中项，则，所以，

所以，

当且仅当时取等号，故选B．

4．已知，，，给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分

而不必要条件是（    ）

A．① B．② C．③ D．①②③

【答案】C

【解析】由①，得，不一定有成立，不符；

对于②，当，时，有，但不成立，所以不符；

对于③，由，知，所以，有成立，

当成立时，不一定有，因为可以为，符合题意，

本题选择C选项．

5．若，，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】，且，，

．

6．已知，且满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，且，可得，

当且仅当时，取得最大值为．

7．已知，，且，且的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，因为，，则，

依题意，即，

整理得，解得，

即的最小值是．

8．对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】的最小值为，

所以对任意实数恒成立只需，解得．

9．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，依据题意有恒成立，

且，，

当且仅当时等号成立．

因为恒成立，∴，∴．

10．设，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，若，对任意恒成立，即为，

对恒成立，即有，

由，可得时的取得最大值，可得．

11．已知，设函数的零点为，的零点为，则的

最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，函数的零点为，

即，的图象相交于点；

由，得，函数的零点为，

即，的图象相交于点．

因为，互为反函数，所以，即且，，

由基本不等式得，

当且仅当时“”成立，所以的最大值为，故选B．

12．已知函数，（，且），对于，恒成立，实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对于，恒成立，

可得当时，，

又，可得，

由，可得当时，取得最小值，则，

当时，，

由，可得，

由，可得时，取得最大值，则，

综上可得，时，，时，，故选A．

二、填空题．

13．若关于的不等式只有一个解，则满足条件的实数组成的集合是         ．

【答案】

【解析】当时，解为，不满足条件；

当时，不等式只有一个解，则，解得，

综上所述：，故答案为．

14．函数是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，则满足的实数的取值范围为        ．

【答案】

【解析】函数的图像关于点对称，

则函数的图像关于点对称，即为奇函数，

满足，

所以，，

又∵是定义在上的增函数，∴，

故答案为．

15．下列结论正确的是       ．

①当时，；

②当时，的最小值是；

③当时，的最小值是；

④设，，且，则的最小值是．

【答案】①④

【解析】对于①，当时，，，

当且仅当时取等号，结论成立，故①正确；

对于②，因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，故②错误；

对于③，当时，，当且仅当时取等号，

但，等号取不到，因此的最小值不是，故③错误；

对于④，因为，，

则，

当且仅当，即，时，等号成立，故④正确，

故答案为①④．

16．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从年月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足的函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是      万元．

【答案】

【解析】由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，

即，

所以月利润为，

当且仅当时，即时取等号，即月最低利润为万元，

故答案为．