高中数学高考 2021届小题必练5 线性规划（文）-教师版(1)

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．【2020全国Ⅱ卷】若，满足约束条件，则的最大值是       ．

【答案】

【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组的解，解得，

因此的最大值为，故答案为．

【点睛】根据不等式组画出可行域，然后将目标函数转化为直线方程，利用平移直线法求解．

2．【2019天津卷】设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目标函数在点处取得最大值，

由，得，所以，故选C．

【点睛】画出不等式组表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义进行求解．

一、选择题．

1．设，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，

平移直线，由图可知，当直线经过点时，取得最小值，

且，故选A．

2．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，

联立直线方程，可得点的坐标为，

据此可知目标函数的最小值为．

3．已知实数，满足，令，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分．

因为，所以令，所以当取得最小值时，取得最小值．

由，得．

作出直线并平移该直线，则在点处轴上的截距最小，此时取得最小值．

由，得，所以，所以，故选A．

4．以原点为圆心的圆全部在平面区域内，则圆面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

结合图象可知，当圆与直线相切时，圆的面积最大，

此时圆的半径，圆面积，故选B．

5．已知向量，，且，若实数，满足，则的取值

范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，

根据不等式组画出可行域，易知，

则其表示的几何意义是可行域内的点与定点所连直线的斜率，

当点在时，取得最大值，且；

当在时取得最小值，且，

∴的取值范围是，故选D．

6．某旅行社租用甲、乙两种型号的客车安排人旅行，，两种载客量分别是人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且乙型客车不多于甲型车辆，则租金最少为（    ）元．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设租用甲、乙两种型号客车分别为辆，辆，所用的总租金为元，

则，且，满足（，），画出可行域，

根据图象可知，当，时，总租金最少，且，故选B．

7．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则

的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】不等式表示的平面区域是如图所示阴影部分，

当直线过直线与直线的交点时，

目标函数取得最大值，即，即，

而．

8．若，满足约束条件，且目标函数的最大值为，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示．直线的斜率为，要取得最大值，

需要，即，且直线经过点时取得最大值．

由，得，所以，所以，解得，故选A．

9．变量，满足条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据约束条件画出可行域，如阴影部分所示：

令，

则的值可理解为以为圆心的圆半径平方减去，

∴当圆过点时，目标函数取最小值，且最小值为，故选D．

10．给定区域：，令点集是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定（    ）个不同的三角形．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据不等式组画出可行域，如图所示，取最小值时的点有，取最大值时的点有，，，，，这点可确定个不同的三角形．

11．若点是不等式组表示的平面区域内（含边界）的任意一点，点到直线的距离为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式组作出可行域及直线，结合图形，

可知点到直线的距离最小，最小值；

点到直线距离最大，最大值，

∴的取值范围是．

12．函数在上单调递增，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的导函数，

令，

因为函数在上单调递增，

则在上恒成立，所以，即，

作出其可行域，如图中阴影部分所示，

设，则，

由图可知当曲线过点时，取得最小值，最小值为，

故选B．

二、填空题．

13．设变量，满足约束条件，则的最大值为        ．

【答案】

【解析】满足约束条件的可行域如下图所示．

由图可知，由，可得，

由，可得；由，可得，

当，时，取最大值，

故的最大值为．

14．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为      ．

【答案】

【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，该部分面积为．

15．已知不等式组，确定的平面区域为，若存在点使得成立，则实数的取值范围为       ．

【答案】

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分．

由图知，直线过点时取最大值，过点时取最小值．

由，得，所以；

由，得，所以，

故．

16．已知，满足约束条件，若的最大值为，则的值为       ．

【答案】

【解析】不等式组对应的可行域如图所示．

联立，得．

表示动点和点的连线斜率，

可行域中点和的连线斜率最大，所以，∴．