高中数学高考 2021届小题必练6 等差数列与等比数列（理）-教师版(1)

1．理解等差数列、等比数列的概念．

2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

4．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

1．【2020全国二卷】数列中，，，若，则

（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取，则，

又，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，则，

所以，得．

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，

属于中等题．

2．【2019全国一卷】记为等差数列的前项和．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意有，可得，，．

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做出判断．

一、选择题．

1．记等差数列的前项和为．若，，则的公差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由等差数列的性质可知，，解得，

故，故选A．

2．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，得，解得，

所以，故选B．

3．等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由等差数列性质可知，解得，

∴，本题正确选项为B．

4．已知数列是公比不为1的等比数列，为其前项和，满足，且，，成等差

数列，则（    ）

A． B．6 C．7 D．9

【答案】C

【解析】数列是公比不为的等比数列，满足，即，

由，，成等差数列，得，即，

解得，，则．

故选C．

5．等比数列的前项的乘积记为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，由，得，故，即．

又，所以，故，

所以，故选C．

6．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】因为，，

∴，∴或（舍去），∴，

则，∴，故选B．

7．已知是等差数列的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为，

由题意得，解得，

所以，故选A．

8．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，解得，

，本题正确选项为C．

9．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（    ）升粟？

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，

由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且，

则，解得，

所以马主人要偿还的量为，故选D．

10．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则

（    ）

A．32 B．31 C．30 D．29

【答案】B

【解析】∵，∴，

，．

∵，∴，则，，，

故，故选B．

11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（    ）

A．里 B．里 C．里 D．里

【答案】B

【解析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，

由等比数列的求和公式可得，解得，

则，故选B．

12．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2019项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

，，，，

联立解得，

，．

则数列的前2019项和，

故选C．

二、填空题．

13．设为等比数列的前项和，，则_______．

【答案】

【解析】由题意，设等比数列的公比为，

由，即，解得，

则，即．

14．等差数列中，，，则与等差中项的值为_____．

【答案】11

【解析】根据题意，等差数列中，，，

则有，

所以与的等差中项为，故答案为11．

15．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天入院治疗流感的人数共有______人．

【答案】255

【解析】由于，

所以n为奇数时，；n为偶数时，，

所以，构成公差为2的等差数列，

因为，，

所以，

故答案为255．

16．已知数列满足，则数列的前项和为_________．

【答案】

【解析】由，得，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

于是，所以，

因为，

所以的前项和为．