高中数学高考 2021届小题必练11 圆锥曲线（理）-学生版(1)

1．理解直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质．

2．重点掌握直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，用运动与变化的观点研究问题．

3．强调数形结合的思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想．

1．【2020全国II卷理科】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线

分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（    ）

A． B． C．16 D．32

2．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为_______．

一、选择题．

1．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的上焦点为，上、下顶点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，的中点为，连接交轴于点，若三点共线，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线的焦点为点，准线为直线，点在抛物线上，设点到轴的距离为，若，则点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

5．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，

若的面积是1，则双曲线的实轴长是（    ）

A． B． C． D．

6．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（    ）

A． B． C． D．

7．设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8．椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，

设，且，则该椭圆离心率的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A． B． C． D．

10．阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

11．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题．

13．已知双曲线的左，右焦点分别为，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的最小值为，则双曲线的离心率为       ．

14．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．

若在线段上(不含端点)存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是       ．

15．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为，且，则双曲线C的离心率为       ．

16．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，

则      ．

1．【答案】B

【解析】渐近线方程为，不妨令点在第一象限，点在第四象限，

则，，，

焦距为，当且仅当时取等号．

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，基本不等式求最值，属于基础题．

2．【答案】

【解析】在双曲线中，点为右焦点，因此点的坐标为，右顶点，

当时，双曲线上对应的点的坐标为，

由题意可知点在第一象限，故，因此，，

化简可得，即，则或，

双曲线中，因此，

双曲线的离心率．

【点睛】本题考查了双曲线的定义、几何性质和离心率，离心率是高考中的常考题型，主要结合题中给出的等量关系求解．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】设，，，

，，，

因为，所以，整理得．

2．【答案】B

【解析】因为轴，所以，

由，得，∴，

又三点共线，知，∴，

即，整理得，∴．

3．【答案】D

【解析】设，

∵是等边三角形，∴，∴，，

又∵，∴．

4．【答案】B

【解析】由抛物线的定义可知：，于是，∴，

即点到直线的距离为．

5．【答案】B

【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，故，，，

根据面积公式有，，

而，，解得，，，

故实轴长．

6．【答案】A

【解析】因为抛物线方程为，所以焦点F的坐标为，准线方程为，

如图，设，，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，

则，所以，把代入抛物线，得，

所以直线AB过点，，方程，

代入抛物线方程，解得x1=2，所以，

在△AEC中，BN∥AE，，．

7．【答案】A

【解析】分焦点在轴上和轴上两种情况：

①时，上存在点满足，

假设位于短轴的端点时，取最大值，

要使椭圆上存在点满足，即，则，

所以，解得；

②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得，

∴的取值范围是．

8．【答案】A

【解析】已知椭圆焦点在轴上，

椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，设左焦点为，

则：连接，，，，

所以，四边形为长方形．

根据椭圆的定义：，，则．

∴，即，

由椭圆的离心率，

由，则，

即，

∴，故椭圆离心率的最大值为．

9．【答案】B

【解析】设到的距离为，则，

∵，∴，

∴不妨设直线的斜率为，

∵，∴直线的方程为，与联立可得，

∴．

10．【答案】A

【解析】由题意可得，解得，，

因为椭圆的焦点坐标在轴上，所以椭圆方程为．

11．【答案】B

【解析】根据双曲线的对称性，得中，，

∴是锐角三角形，即为锐角，

由此可得中，，得，

∵，，

∴，即，

两边都除以，得，解之得，

∵双曲线的离心率，∴该双曲线的离心率的取值范围是．

12．【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为，

联立直线与抛物线，消去可得，

解得，，

不妨，，，，

则．

二、填空题．

13．【答案】

【解析】由双曲线定义知，，则，

∴，

∴过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，

此时最小，且最小值为，

易求焦点到渐近线的距离为，即，所以，即，

故离心率．

14．【答案】

【解析】设为半焦距，则，

又，所以，以为直径的圆的方程为圆，

因为，

所以圆与线段有两个交点(不含端点)，

所以，即，故，

解得．

15．【答案】

【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，且，

可得，即有直线的斜率为，

由直线与双曲线的一条渐近线交于点，

可得，

可得，即有，

化为，解得或，

，可得，即，可得舍去．

16．【答案】

【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设的坐标分别为，，则，

设，，则，，

所以有，解得或，所以．