高中数学高考1 第1讲　绝对值不等式 新题培优练

[基础题组练]

1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝

当x<－1时，f(x)≥1无解；

当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1解得1≤x≤2；

当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．

(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－)2＋≤，

且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.

故m的取值范围为.

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，

f(x)＝

可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.

而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.

由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．

3．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.

(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|

＝

所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；

当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；

当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．

综上可得f(x)≥0的解集为.

(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．

易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0.所以实数a的取值范围为(－1，0)．

4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．

(1)若f(1)<11，求a的取值范围；

(2)若∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范围．

解：(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝

当a≤1时，3－2a<11，解得a>－4，

所以－4＜a≤1；

当1<a<2时，1<11恒成立；

当a≥2时，2a－3＜11，

解得a<7，所以2≤a<7.

综上，a的取值范围是(－4，7)．

(2)因为∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，

又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，

所以|x|≥x2－x－3，

所以或

解得0≤x≤3或－≤x＜0，

所以x的取值范围为[－，3]．

[综合题组练]

1．设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.

(1)解不等式f(x)＋g(x)<2；

(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.

解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|<2.

①当x<2时，原不等式可化为3－x＋2－x<2，可得x>.

所以<x<2.

②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－2<2，可得1<2.所以2≤x≤3.

③当x>3时，原不等式可化为x－3＋x－2<2，可得x<.

所以3<x<.

由①②③可知，不等式的解集为{x|<x<}．

(2)证明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3.

当且仅当或时等号成立．

2．已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0<a<5)．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；

(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|

＝

所以f(x)≥9⇔或或

解得x≤－1或x≥5，

即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．

(2)因为0<a<5，所以>1，

则f(x)＝

注意到当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，

所以f(x)的最小值在上取得，

因为在上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，

所以或

解得a＝2.

3．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.

(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x1<x<x2}，求x1＋x2的值；

(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值．

解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|<4.

当x>2时，原不等式可化为2x<5，

所以2<x<；

当x<－1时，原不等式可化为－2x<3，

所以－<x<－1；

当－1≤x≤2时，原不等式可化为3<4，

所以－1≤x≤2.

综上，原不等式的解集为，

即x1＝－，x2＝.

所以x1＋x2＝1.

(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k.

当x＝2时，即不等式3k≥k成立，所以k≥0.

当x≤－2或x≥0时，

因为|x＋1|≥1，

所以不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立．

当－2＜x≤－1时，

原不等式可化为2－x－kx－k≥k，

可得k≤＝－1＋，

所以k≤3.

当－1<x<0时，

原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，

所以k＜3.

综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.

4．(2019·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．

(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；

(2)当a<时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝|x－a|＋，所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，

所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，

所以|m|≤1，即－1≤m≤1，所以实数m的最大值为1.

(2)当a<时，

g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝

所以g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，

所以或

所以－≤a<0，

所以实数a的取值范围是.