高中数学高考1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数　新题培优练

[基础题组练]

1．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，)，则x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以

cos α＝＝，tan α＝＝，那么cos α＋tan α＝，故选A.

2．下列结论中错误的是(　　)

A．若0<α<，则sin α<tan α

B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角

C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝

D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度

解析：选C.选项A，若0<α<，则sin α<tan α＝，A正确；选项B，若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B正确；选项C，若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝＝，不一定等于，C不正确；选项D，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为＝1弧度，D正确．故选C.

3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z

C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

解析：选C.因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.

4．下列选项中正确的是(　　)

A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0

C．tan>0 D．sin 10<0

解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；

－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；

因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；

因为3π<10<，所以10是第三象限角．

故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan<0，sin 10<0，故D正确．

5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，结合图象知选C.

6．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)

A.   B.

C. D.

解析：选D.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.

7．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)

A．1 B．－1

C．3 D．－3

解析：选B.由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

8．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．

解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，

所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，

令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.

答案：120°或－240°

9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________．

解析：设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，所以圆弧长为

R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为＝.

答案：

10．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．

解析：设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r.

则(R－r)sin 60°＝r，

即R＝r.

又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，

所以＝.

答案：(7＋4)∶9

11．已知角α的终边上一点P(5a，－12a)(a∈R且a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．

解：角α的终边上一点P(5a，－12a)，即x＝5a，y＝－12a，

所以r＝＝13|a|，

当a＞0时，

则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－；

当a＜0时，

则sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－.

12．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

解：(1)由＝－，得sin α<0，

由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，

所以α是第四象限角．

(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.

又α为第四象限角，故m<0，

从而m＝－，

sin α＝＝＝＝－.

[综合题组练]

1．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　)

A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β

B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β

C．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β

D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β

解析：选D.由三角函数线可知选D.

2．(应用型)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝________．

解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以＝.

答案：

3．(创新型)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

所以S1＝tm·r－S扇形AOB，

S2＝tm·r－S扇形AOB，

所以S1＝S2恒成立．

答案：S1＝S2

4．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；

(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解：(1)由题意可得B，

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.

(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，

而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，

故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.