高中数学高考1 第1讲　数列的概念与简单表示法　新题培优练

[基础题组练]

1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)

A．第19项 B．第20项

C．第21项 D．第22项

解析：选C.数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，

所以通项公式为an＝＝，

令＝5，得n＝21.

2．(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　)

A．40   B．44

C．45   D．49

解析：选B.法一：因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.

法二：因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝，所以{an}从第二项起是等差数列，a2＝3，公差d＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋4a6＝4×(2×6－1)＝44，故选B.

3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)

A．2n B．2n－1

C．2n D．2n－1

解析：选C.当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.

4．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016等于(　　)

A．504 B．588

C．－588 D．－504

解析：选C.因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，所以数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，因为2 016÷4＝504，所以S2 016＝504×＝－588，故选C.

5．(2019·西宁模拟)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0)，则an＝(　　)

A．10n－2 B．10n－1

C．102n－4 D．22n－1

解析：选D.因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0)，所以log2an＋1＝2log2an⇒＝2，所以是公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1⇒an＝22n－1.

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.

当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，

所以an＝

答案：

7．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为______．

解析：由an＋1＝an－1，得an＋1＋2＝(an＋2)，所以数列{an＋2}是以4为首项，为公比的等比数列，所以an＋2＝4×＝23－n，an＝23－n－2，所以a5＝23－5－2＝－.

答案：－

8．(2019·长春模拟)已知数列{an}满足an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：因为an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，所以两边同除以an·an＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即{}是以3为首项，1为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝.

答案：

9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，

解得a2＝3a1＝3.

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

解得a3＝(a1＋a2)＝6.

(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

于是

a1＝1，

a2＝a1，

a3＝a2，

…

an－1＝an－2，an＝an－1.

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

显然，当n＝1时也满足上式．

综上可知，{an}的通项公式an＝.

10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.

(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，

当n≥2时，an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9.

又a2＝a1＋3＞a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．

[综合题组练]

1．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)

A．256   B．510

C．512 D．1 024

解析：选C.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.

2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)

A．15 B．12

C．－12 D．－15

解析：选A.由题意知，a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.

3．(创新型)若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．

解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，

当n＝1时，a1＝6；

当n≥2时，

故当n≥2时，an＝，

所以an＝

答案：an＝

4．(应用型)(2019·湖南永州模拟)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．

解析：由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0，1)．

答案：(0，1)

5．(应用型)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1，

因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.

(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，

则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]

＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1

＝2an－2n＋1.

因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，

所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，

两式相减得an＝2an－2an－1－2，

所以an＝2an－1＋2(n≥2)，

所以an＋2＝2(an－1＋2)，

因为a1＋2＝3≠0，

所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．

所以an＋2＝3×2n－1，

所以an＝3×2n－1－2，

当n＝1时也成立，

所以an＝3×2n－1－2.

6．(创新型)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列的变号数．

解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.

又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.

所以Sn＝n2－4n＋4.

当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.

所以an＝

(2)由题意得cn＝

由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.

又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，

即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.

所以数列{cn}的变号数为3.