高中数学高考02第一章 集合与常用逻辑用语 1 2 命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以          的陈述句叫做命题，其中          的语句叫做真命题，          的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有      的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性          ．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

概念方法微思考

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“对顶角相等”是命题．(　 　 )

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．(　  　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　  　)

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　  　)

题组二　教材改编

2．下列命题是真命题的是(　　)

A．矩形的对角线相等

B．若a>b，c>d，则ac>bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_________________________．

4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

题组三　易错自纠

5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

6．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

题型一　命题及其关系

1．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

其中真命题的序号是________．

2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)

A．不拥有的人们会幸福   B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福   D．不拥有的人们不幸福

3．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)

4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_________．

题型二　充分、必要条件的判定

例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)

A．充要条件   B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件   D．必要不充分条件

(2)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝成立”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

题型三　充分、必要条件的应用

例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

跟踪训练2 (1)若“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________．

(2)设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

利用充要条件求参数范围

逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．

例 已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)

A．逆命题   B．否命题

C．逆否命题   D．否定

3．(2018·天津)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．(2018·抚顺模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　)

A．充分不必要条件   B．充要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

5．有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确的是(　　)

A．①②③   B．②③④

C．①③④   D．①④

6．(2018·包头模拟)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

8．“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．－1≤k<3   B．－1≤k≤3

C．0<k<3   D．k<－1或k>3

9．有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

12．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

14．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m的取值范围是_______．

15．已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．

16．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．