还剩9页未读，
继续阅读
高中数学高考2 4 二次函数与幂函数
展开
这是一份高中数学高考2 4 二次函数与幂函数，共12页。试卷主要包含了二次函数解析式的三种形式，二次函数的图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，一元二次方程根的讨论等内容，欢迎下载使用。
2．4 二次函数与幂函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝__________________ (a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝__________________ (a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝__________________ (a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝__________________；
(2)顶点坐标：__________________；
(3)开口方向：a＞0时，开口，a＜0时，开口；
(4)值域：a＞0时，y∈__________________， a＜0时，y∈__________________；
(5)单调性：a＞0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；a＜0时，f(x)在上是，在上是________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__________________，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的__________________．
4．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．
它只能在区间的__________________或二次函数的__________________处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)
图象
满足的条件
x1＜x2＜m
①
m＜x1＜x2
②
x1＜m＜x2
③f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
④
m＜x1＜n＜x2＜p
⑤
m
⑥
只有一根在区间(m，n)内
⑦ f(m)·f(n)<0.
6.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
图象和性质比较
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
y＝x
R
R
___函数
在R上单调递增
y＝x2
R
______
____
函数
在___上单调递减；在___上单调递增
____
y＝x3
R
R
____
函数
在R上单调递增
y＝
___
____
____
函数
在__上单调递增
y＝x－1
___
____
____
函数
在__和__上单调递减
自查自纠：
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2)
2．(1)－ (2)
(3)向上 向下
(4)
(5) 增函数 减函数
3．根 端点值
4．端点 顶点
6．{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0}
{y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (－∞，0]
[0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) (1，1)
若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为 ( )
A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3
C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3
解：由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又图象过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3.故选B.
()已知a＝2，b＝3，c＝25，则 ( )
A．b
已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 ( )
A B
C D
解：由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0.由c<0，排除A，B，由a>0，排除C.故选D.
若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b为常数，且a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解：由f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则解得b＝ －2，2a2＝4.故f(x)＝－2x2＋4.故填－2x2＋4.
若方程x2－11x＋30＋a＝0的两个不等实根均大于5，则实数a的取值范围是________．
解：令f(x)＝x2－11x＋30＋a.对称轴x＝，故只要 即可，解得0
类型一 求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得
解之得
所以所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线对称轴为x＝＝，
所以m＝，又根据题意，函数有最大值为8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，即a＋8＝－1.解之得 a＝－4.
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8，
解之得a＝－4，
所以所求函数解析式为
f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
点 拨：
由条件f(2)＝f(－1)及f(x)的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x＝，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g(x)＝f(x)＋1的两个零点，利用零点式求g(x)的解析式，再求f(x)的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．
(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是y＝________.
解：设y＝a(x－2)2－1(a＞0)，
当x＝0时，4a－1＝1，a＝，
所以y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
故填x2－2x＋1.
(2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则实数a＝ ( )
A．－ B．1
C．1或－ D．－1或－
解：因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因为方程有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，所以a＝－.故选A.
(3)已知二次函数y＝f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.故填x2－4x＋3.
类型二 二次函数的图象与性质
(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
A B
C D
解：若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.
点 拨：
在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小)，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
(2)已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－2，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，－2] D.
解：由函数f(x)＝x2＋ax在(－∞，1]上单调递减，得－≥1，即a≤－2；由函数f(x)＝ax2＋x在(1， ＋∞)上单调递减，得a<0且－≤1，即a≤－.而12＋a×1＝a×12＋1，综上可知，a≤－2.故选C.
点 拨：
对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．
(3)()已知函数f(x)＝－x2＋ 2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为 ( )
A．2 B．－1或－3
C．2或－3 D．－1或2
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a图象的对称轴为直线x＝a，开口向下．
①当a≤0时，f(x)在区间[0，1]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1；
②当0
综上可知，a＝－1或a＝2.故选D.
点 拨：
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．
(1)()如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac； ②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0； ④5a＜b.
其中正确的是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．故选B.
(2)()如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解：①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，在(－∞，4)上单调递增；②当a≠0时，依题意知，a<0且对称轴－≥4，解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.综上，－≤a≤0.故选D.
(3)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为( )
A．[－3，3] B．[－1，3]
C．{－3，3} D．{－1，－3，3}
解：函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象的对称轴方程为x＝1.
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
令x2－2x＋1＝4⇒x＝－1或3.
令a＋2＝－1或a＝3，得a＝－3或3，
故a的取值集合为{－3，3}．故选C.
类型三 二次方程根的分布
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋ 1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出函数f(x)的大致图象，得
⇒
所以－
(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f(x)的大致图象，得
⇒
所以－
点 拨：
对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：①根的个数问题，由判别式判断；②正负根问题，由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．
(1)如果方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0的两个根一个小于零，另一个大于1，则m的取值范围为________．
解：令f(x)＝(1－m2)x2＋2mx－1，因为f(0)＝ －1，所以f(x)图象过定点(0，－1)，所以 解得－1
(2)()已知二次函数f(x)＝x2＋ bx＋c的两个零点分别在区间(－2，－1)和(－1，0)内，则f(3)的取值范围是( )
A．(8，18) B．(12，18)
C．(12，20) D．(18，20)
解：由题意得即作可行域如图中阴影部分所示，A(2，0)，B(1，0)，C(3，2)，而f(3)＝9＋3b＋c，令9＋3b＋c＝z，c＝－3b－9＋z，平移直线知过C点可得z＝f(3)<20，过B点可得z＝f(3)>12，故f(3)的取值范围是(12，20)．故选C.
类型四 二次函数的综合应用
(1)()已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 i＝ ( )
A．0 B．m C．2m D．4m
解：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线 x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．
不妨设x1
解：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－m>0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞， －1)．故填(－∞，－1)．
(3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
解：2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．当 x＝0时，－3<0，成立；当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.综上，实数a的取值范围是.故填.
点 拨：
二次函数的应用十分广泛，贯穿高中数学的始终．首先要熟练掌握其定义、解析式、图象、性质，其次是明了三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)三者之间的密切关系．
(1)()已知函数f(x)＝ ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为 ( )
A．[1，3] B．(1，3)
C．[2－，2＋] D．(2－，2＋)
解：函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，g(x)的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)>－1， －b2＋4b－3>－1，所以b2－4b＋2<0，解得2－
解：因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴x＝ －(a－2)，对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，
所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：
或
或
解得a∈∅或1≤a＜4或－＜a＜1，所以a的取值范围为.故填.
(3)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式 f(x＋a)≥[f(x)]2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解：由题知函数f(x)＝2|x|，故f(x＋a)≥[f(x)]2，即2|x＋a|≥(2|x|)2＝22|x|，即|x＋a|≥2|x|，即3x2－2ax－a2≤0对任意的x∈[a，a＋2]恒成立．令g(x)＝3x2－2ax－a2，则只要g(a)≤0且g(a＋2)≤0即可．g(a)＝0，满足要求，g(a＋2)＝3(a＋2)2－2a(a＋2)－a2＝8a＋12≤0，即a≤－.故填.
类型五 幂函数的图象和性质
(1)()已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
解：由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.故选C.
(2)()幂函数y＝x－1， y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则
( )
A．－1
解：在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在x∈(0，1)内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“指大、图低”，知－1
(3)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1，2) D.
解：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于 解得 即≤m＜2.故选D.
点 拨：
①可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；②α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降；③在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握常见的几个幂函数的图象和性质是解题的关键．
(1)已知幂函数f(x)＝x- m2 - 2m + 3 (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(2)的值为________．
解：根据幂函数性质可得－m2－2m＋3>0，即m2＋2m－3<0，解得－3
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为y＝(m∈Z)的图象不过原点，所以m2－4m<0，即0
解：因为f(x)＝＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，所以 所以3＜a＜5.故填(3，5)．
1．求二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式，一般规律是：
(1)已知三个点的坐标时，常用一般式．
(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式．
(3)若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式．
2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域
二次函数在区间[m，n]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．
3．二次函数的综合应用
解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的结构特点和a，b，c的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x2＝±2py理解a的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c等．
4．幂函数的定义、图象和性质
(1)判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式y＝xα(α∈R)．
(2)幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x＝2或x＝的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．
(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1．()函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是 ( )
A．－1 B．2 C．3 D．－1或2
解：f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－ 1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.故选B.
2．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，5] D．[5，＋∞)
解：函数f(x)图象的对称轴方程是x＝1－a，要使函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，则1－a≥4，即a≤－3.故选A.
3．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( )
A B
C D
解：由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
因为abc＞0，所以ab＜0，所以对称轴x＝ －＞0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，所以ab＞0，所以x＝－＜0，B错误．故选D.
4．()幂函数的图象经过点(4，2)，若0>1，即a
A. B.
C．[3，＋∞) D．(0，3]
解：x∈[－1，2]时，函数f(x)＝x2－2x的值域为A＝[－1，3]，函数g(x)＝ax＋2(a>0)的值域为B＝ [2－a，2＋2a]，由题意，B⊆A，则有又a>0，故解得0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：f(x)＝－，则f(x)min＝f＝－，当b<0时，－∈，故充分性成立．另一方面，当b＝0时，f(f(x))的最小值为0，也与f(x)的最小值相等，故必要性不成立．故选A.
7．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1，3]上满足：
①恒有解，则实数a的取值范围为________；
②恒成立，则实数a的取值范围为________．
解：①f(x)>a在区间[1，3]上恒有解，则a
解：令g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即 g(5)＝0，解得k＝(经检验满足题意)．故填.
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，求a－b的取值范围．
解：易知x1x2＝－<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则 如图，作出点(a，b)对应的平面区域，易知点A(0，1)使得目标函数z＝a－b取得最小值，由于边界为虚线，故有z>－1，即a－b的取值范围为(－1，＋∞)．
10．()已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间 [－1，4]上的最大值为12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解：(1)因为f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，
所以可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
所以f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知得6a＝12，所以a＝2，
所以f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.
(2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝2－，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝.
①当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8；
②当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以g(t)＝2t2－10t；
③当t＜＜t＋1，即＜t＜时，f(x)在x＝处取得最小值，所以g(t)＝f＝－.
综上所述，g(t)＝
11．()已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的取值范围；
(3)若f(x)＝0的两根都在[0，1]内，求a的取值范围．
解：(1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，所以f(x)在上递减，在上递增．
所以f(x)min＝f＝－＝－.
当>1，即0
③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，
且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
所以f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．
所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
(2)只需f(x)min≥－1，即可．
由(1)知，当a<1时，a－2≥－1，所以a≥1(舍去)；
当a≥1时，－≥－1恒成立，所以a≥1.
故a的取值范围为[1，＋∞)．
(3)由题意知f(x)＝0时，x＝0，x＝(a≠0)，
0∈[0，1]，所以0<≤1，所以a≥2.
故a的取值范围为[2，＋∞)．
若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解：f(x)＝x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝＋a－，x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，1－a＋a＝1＋a－a，－1≤－≤0，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是[0，2]．故填[0，2]．
2．4 二次函数与幂函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝__________________ (a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝__________________ (a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝__________________ (a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝__________________；
(2)顶点坐标：__________________；
(3)开口方向：a＞0时，开口，a＜0时，开口；
(4)值域：a＞0时，y∈__________________， a＜0时，y∈__________________；
(5)单调性：a＞0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；a＜0时，f(x)在上是，在上是________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__________________，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的__________________．
4．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．
它只能在区间的__________________或二次函数的__________________处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)
图象
满足的条件
x1＜x2＜m
①
m＜x1＜x2
②
x1＜m＜x2
③f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
④
m＜x1＜n＜x2＜p
⑤
m
⑥
只有一根在区间(m，n)内
⑦ f(m)·f(n)<0.
6.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
图象和性质比较
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
y＝x
R
R
___函数
在R上单调递增
y＝x2
R
______
____
函数
在___上单调递减；在___上单调递增
____
y＝x3
R
R
____
函数
在R上单调递增
y＝
___
____
____
函数
在__上单调递增
y＝x－1
___
____
____
函数
在__和__上单调递减
自查自纠：
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2)
2．(1)－ (2)
(3)向上 向下
(4)
(5) 增函数 减函数
3．根 端点值
4．端点 顶点
6．{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0}
{y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (－∞，0]
[0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) (1，1)
若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为 ( )
A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3
C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3
解：由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又图象过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3.故选B.
()已知a＝2，b＝3，c＝25，则 ( )
A．b
已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 ( )
A B
C D
解：由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0.由c<0，排除A，B，由a>0，排除C.故选D.
若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b为常数，且a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解：由f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则解得b＝ －2，2a2＝4.故f(x)＝－2x2＋4.故填－2x2＋4.
若方程x2－11x＋30＋a＝0的两个不等实根均大于5，则实数a的取值范围是________．
解：令f(x)＝x2－11x＋30＋a.对称轴x＝，故只要 即可，解得0
类型一 求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得
解之得
所以所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线对称轴为x＝＝，
所以m＝，又根据题意，函数有最大值为8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，即a＋8＝－1.解之得 a＝－4.
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8，
解之得a＝－4，
所以所求函数解析式为
f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
点 拨：
由条件f(2)＝f(－1)及f(x)的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x＝，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g(x)＝f(x)＋1的两个零点，利用零点式求g(x)的解析式，再求f(x)的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．
(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是y＝________.
解：设y＝a(x－2)2－1(a＞0)，
当x＝0时，4a－1＝1，a＝，
所以y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
故填x2－2x＋1.
(2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则实数a＝ ( )
A．－ B．1
C．1或－ D．－1或－
解：因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因为方程有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，所以a＝－.故选A.
(3)已知二次函数y＝f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.故填x2－4x＋3.
类型二 二次函数的图象与性质
(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
A B
C D
解：若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.
点 拨：
在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小)，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
(2)已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－2，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，－2] D.
解：由函数f(x)＝x2＋ax在(－∞，1]上单调递减，得－≥1，即a≤－2；由函数f(x)＝ax2＋x在(1， ＋∞)上单调递减，得a<0且－≤1，即a≤－.而12＋a×1＝a×12＋1，综上可知，a≤－2.故选C.
点 拨：
对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．
(3)()已知函数f(x)＝－x2＋ 2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为 ( )
A．2 B．－1或－3
C．2或－3 D．－1或2
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a图象的对称轴为直线x＝a，开口向下．
①当a≤0时，f(x)在区间[0，1]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1；
②当0
综上可知，a＝－1或a＝2.故选D.
点 拨：
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．
(1)()如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac； ②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0； ④5a＜b.
其中正确的是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．故选B.
(2)()如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解：①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，在(－∞，4)上单调递增；②当a≠0时，依题意知，a<0且对称轴－≥4，解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.综上，－≤a≤0.故选D.
(3)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为( )
A．[－3，3] B．[－1，3]
C．{－3，3} D．{－1，－3，3}
解：函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象的对称轴方程为x＝1.
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
令x2－2x＋1＝4⇒x＝－1或3.
令a＋2＝－1或a＝3，得a＝－3或3，
故a的取值集合为{－3，3}．故选C.
类型三 二次方程根的分布
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋ 1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出函数f(x)的大致图象，得
⇒
所以－
(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f(x)的大致图象，得
⇒
所以－
点 拨：
对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：①根的个数问题，由判别式判断；②正负根问题，由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．
(1)如果方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0的两个根一个小于零，另一个大于1，则m的取值范围为________．
解：令f(x)＝(1－m2)x2＋2mx－1，因为f(0)＝ －1，所以f(x)图象过定点(0，－1)，所以 解得－1
(2)()已知二次函数f(x)＝x2＋ bx＋c的两个零点分别在区间(－2，－1)和(－1，0)内，则f(3)的取值范围是( )
A．(8，18) B．(12，18)
C．(12，20) D．(18，20)
解：由题意得即作可行域如图中阴影部分所示，A(2，0)，B(1，0)，C(3，2)，而f(3)＝9＋3b＋c，令9＋3b＋c＝z，c＝－3b－9＋z，平移直线知过C点可得z＝f(3)<20，过B点可得z＝f(3)>12，故f(3)的取值范围是(12，20)．故选C.
类型四 二次函数的综合应用
(1)()已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 i＝ ( )
A．0 B．m C．2m D．4m
解：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线 x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．
不妨设x1
解：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－m>0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞， －1)．故填(－∞，－1)．
(3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
解：2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．当 x＝0时，－3<0，成立；当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.综上，实数a的取值范围是.故填.
点 拨：
二次函数的应用十分广泛，贯穿高中数学的始终．首先要熟练掌握其定义、解析式、图象、性质，其次是明了三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)三者之间的密切关系．
(1)()已知函数f(x)＝ ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为 ( )
A．[1，3] B．(1，3)
C．[2－，2＋] D．(2－，2＋)
解：函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，g(x)的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)>－1， －b2＋4b－3>－1，所以b2－4b＋2<0，解得2－
解：因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴x＝ －(a－2)，对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，
所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：
或
或
解得a∈∅或1≤a＜4或－＜a＜1，所以a的取值范围为.故填.
(3)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式 f(x＋a)≥[f(x)]2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解：由题知函数f(x)＝2|x|，故f(x＋a)≥[f(x)]2，即2|x＋a|≥(2|x|)2＝22|x|，即|x＋a|≥2|x|，即3x2－2ax－a2≤0对任意的x∈[a，a＋2]恒成立．令g(x)＝3x2－2ax－a2，则只要g(a)≤0且g(a＋2)≤0即可．g(a)＝0，满足要求，g(a＋2)＝3(a＋2)2－2a(a＋2)－a2＝8a＋12≤0，即a≤－.故填.
类型五 幂函数的图象和性质
(1)()已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
解：由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.故选C.
(2)()幂函数y＝x－1， y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则
( )
A．－1
解：在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在x∈(0，1)内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“指大、图低”，知－1
(3)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1，2) D.
解：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于 解得 即≤m＜2.故选D.
点 拨：
①可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；②α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降；③在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握常见的几个幂函数的图象和性质是解题的关键．
(1)已知幂函数f(x)＝x- m2 - 2m + 3 (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(2)的值为________．
解：根据幂函数性质可得－m2－2m＋3>0，即m2＋2m－3<0，解得－3
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为y＝(m∈Z)的图象不过原点，所以m2－4m<0，即0
解：因为f(x)＝＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，所以 所以3＜a＜5.故填(3，5)．
1．求二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式，一般规律是：
(1)已知三个点的坐标时，常用一般式．
(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式．
(3)若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式．
2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域
二次函数在区间[m，n]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．
3．二次函数的综合应用
解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的结构特点和a，b，c的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x2＝±2py理解a的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c等．
4．幂函数的定义、图象和性质
(1)判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式y＝xα(α∈R)．
(2)幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x＝2或x＝的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．
(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1．()函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是 ( )
A．－1 B．2 C．3 D．－1或2
解：f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－ 1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.故选B.
2．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，5] D．[5，＋∞)
解：函数f(x)图象的对称轴方程是x＝1－a，要使函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，则1－a≥4，即a≤－3.故选A.
3．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( )
A B
C D
解：由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
因为abc＞0，所以ab＜0，所以对称轴x＝ －＞0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，所以ab＞0，所以x＝－＜0，B错误．故选D.
4．()幂函数的图象经过点(4，2)，若0
A. B.
C．[3，＋∞) D．(0，3]
解：x∈[－1，2]时，函数f(x)＝x2－2x的值域为A＝[－1，3]，函数g(x)＝ax＋2(a>0)的值域为B＝ [2－a，2＋2a]，由题意，B⊆A，则有又a>0，故解得0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：f(x)＝－，则f(x)min＝f＝－，当b<0时，－∈，故充分性成立．另一方面，当b＝0时，f(f(x))的最小值为0，也与f(x)的最小值相等，故必要性不成立．故选A.
7．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1，3]上满足：
①恒有解，则实数a的取值范围为________；
②恒成立，则实数a的取值范围为________．
解：①f(x)>a在区间[1，3]上恒有解，则a
解：令g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即 g(5)＝0，解得k＝(经检验满足题意)．故填.
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，求a－b的取值范围．
解：易知x1x2＝－<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则 如图，作出点(a，b)对应的平面区域，易知点A(0，1)使得目标函数z＝a－b取得最小值，由于边界为虚线，故有z>－1，即a－b的取值范围为(－1，＋∞)．
10．()已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间 [－1，4]上的最大值为12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解：(1)因为f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，
所以可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
所以f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知得6a＝12，所以a＝2，
所以f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.
(2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝2－，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝.
①当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8；
②当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以g(t)＝2t2－10t；
③当t＜＜t＋1，即＜t＜时，f(x)在x＝处取得最小值，所以g(t)＝f＝－.
综上所述，g(t)＝
11．()已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的取值范围；
(3)若f(x)＝0的两根都在[0，1]内，求a的取值范围．
解：(1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，所以f(x)在上递减，在上递增．
所以f(x)min＝f＝－＝－.
当>1，即0
③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，
且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
所以f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．
所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
(2)只需f(x)min≥－1，即可．
由(1)知，当a<1时，a－2≥－1，所以a≥1(舍去)；
当a≥1时，－≥－1恒成立，所以a≥1.
故a的取值范围为[1，＋∞)．
(3)由题意知f(x)＝0时，x＝0，x＝(a≠0)，
0∈[0，1]，所以0<≤1，所以a≥2.
故a的取值范围为[2，＋∞)．
若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解：f(x)＝x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝＋a－，x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，1－a＋a＝1＋a－a，－1≤－≤0，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是[0，2]．故填[0，2]．
相关试卷
高中数学高考第二章 2 4二次函数和幂函数-学生版(1)： 这是一份高中数学高考第二章 2 4二次函数和幂函数-学生版(1)，共10页。
高中数学高考第二章 2 4二次函数和幂函数-教师版(1)： 这是一份高中数学高考第二章 2 4二次函数和幂函数-教师版(1)，共19页。
高中数学高考第4讲 幂函数与二次函数： 这是一份高中数学高考第4讲 幂函数与二次函数，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
