高中数学高考2 第2讲　等差数列及其前n项和　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5   B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n   D．Sn＝n2－2n

解析：选A.法一：设等差数列{an}的公差为d，

因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.

法二：设等差数列{an}的公差为d，

因为所以解得

选项A，a1＝2×1－5＝－3；

选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；

选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；

选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.

2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　)

A．55 B．11

C．50 D．60

解析：选A.通解：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.

优解：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选A.

3．(一题多解)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：选C.法一：等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.

法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选C.

4．(2019·广东广州联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 017的值为(　　)

A．2 018 B．4 028

C．5 037 D．3 019

解析：选B.由题意得

解得所以an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

所以a2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.

5．(2019·长春质量检测(一))等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝________．　

解析：＝＝＝.

答案：

7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．

解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.

答案：10

8．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝________．

解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，所以a2＝，a4＝.所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0.

答案：0

9．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前三项的和为－9，前三项的积为－15.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.

解：(1)设公差为d，则依题意得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，

所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2，

所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.

(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝，

①n≤3时，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；

②n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.

综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝.

10．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.

从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，

故解得

即所求m的值为5，k的值为4.

[综合题组练]

1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)

A．2 016 B．2 017

C．4 032 D．4 033

解析：选C.因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.

2．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为(　　)

A．{1}   B.

C.   D.

解析：选B.＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，则＝1.因为a1＝d≠0，所以≠0，所以该常数的可能值的集合为.

3．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．

解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.

答案：130

4．(2019·四川广元统考)若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋等于________．

解析：当n＝1时，＝2⇒a1＝4，又＋＋…＋＝n2＋n　①，所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n　②，①－②得＝2n，即an＝4n2，所以＝＝4n，所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.

答案：2n2＋2n

5．(创新型)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有

2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.

解得a1＝1，d＝.

所以{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知，bn＝[]．

当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；

当n＝4，5时，2<＜3，bn＝2；

当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；

当n＝9，10时，4<＜5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

6．(应用型)已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.

(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；

(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)证明：由题意得an＝8－2n，

因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，

所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．

(2)由题意得bn＝|8－2n|.

由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，

可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．

所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，

当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.

故Sn＝