高中数学高考2 第2讲　一元二次不等式的解法　新题培优练

[基础题组练]

1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是(　　)

A.∪(2，＋∞)　　 B．R

C. D．∅

解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，

解得<x<2，

所以不等式的解集是.

2．不等式≥1的解集为(　　)

A.

B.

C．(－∞，－2)∪

D．(－∞，－2]∪

解析：选B.≥1⇔－1≥0⇔≥0

⇔≥0⇔≤0⇔

⇔－2<x≤－.故选B.

3．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集是(　　)

A.     B.

C.     D.

解析：选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是⇒

则不等式bx2－5x＋a>0，

即为30x2－5x－5>0，

即(3x＋1)(2x－1)>0，

⇒x<－或x>.故选C.

4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4，1] B．[－4，3]

C．[1，3] D．[－1，3]

解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.

5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是　(　　)

A．13 B．18

C．21 D．26

解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，

则即

解得5<a≤8，又a∈Z，故a＝6，7，8.

则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.

6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．

解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.

答案：{x|0<x<2}

7．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．

解析：因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，

化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.

答案：(－1，1)

8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________．

解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.

答案：

9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．

解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.

令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，

因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以

(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．

(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，

可得即解得x<2或x>4.

则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.

(1)求f(x)在[0，1]内的值域；

(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．

解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，

当x∈(－3，2)时，f(x)>0.

所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，

所以

所以a＝－3，b＝5.

所以f(x)＝－3x2－3x＋18

＝－3＋.

因为函数图象关于x＝－对称且抛物线开口向下，

所以f(x)在[0，1]上为减函数，

所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12，

故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．

(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0，

即25＋12c≤0，所以c≤－，

所以实数c的取值范围为.

[综合题组练]

1．(应用型)若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A.由x2－2ax－8a2<0，

得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0，

所以不等式的解集为(－2a，4a)，

即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，

得4a－(－2a)＝15，解得a＝.

2．(应用型)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)

A．(－1，0) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定

解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，

即＝1，解得a＝2.

又因为f(x)开口向下，

所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，

所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，

f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，

解得b＜－1或b＞2.

3．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．

解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，

即x2－x－1≥(a－2)(a＋1)对x∈R恒成立，

因为x2－x－1＝－≥－，

所以(a－2)(a＋1)≤－，

解得－≤a≤，所以amax＝.

答案：

4．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．

答案：[2，8)

5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．

(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；

(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．

解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，

当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，

即a(x＋1)(x－2)>0.

当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；

当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．

(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m

＝(x－m)(ax－an＋1)，

因为a>0，且0<x<m<n<，

所以x－m<0，1－an＋ax>0.

所以f(x)－m<0，即f(x)<m.