高中数学高考2 第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 新题培优练

[基础题组练]

1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是　(　　)

A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”

C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”

解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．

2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是(　　)

A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0

B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0

C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0

D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0

解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.

3．有下列几个命题：

①“若a＞b，则＞”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是(　　)

A．① B．①②

C．②③ D．①②③

解析：选C.①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.

4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C.由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.

6．(2019·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．

7．(2019·西安八校联考)在△ABC中，“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.法一：设与的夹角为θ，因为·＞0，即||·||cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.

法二：由·＞0，得·＜0，即cos B＜0，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.

8．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，即“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

9．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；

反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，

所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.

10．(2019·长沙四校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn的最大值是S8”是“”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B.若Sn的最大值为S8，则；若，则 ，所以.所以“Sn的最大值是S8”是“”的必要不充分条件，故选B.

11．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．a＋b＞0 B．a－b＞0

C．ab＞1   D. ＞1

解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1，故选A.

12．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是(　　)

A．k≤－2或k≥2 B．k≤－2

C．k≥2 D．k≤－2或k＞2

解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝≤1，即≥3，所以k2＋1≥9，即k2≥8，所以k≥2或k≤－2，所以圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－2，故选B.

[综合题组练]

1．(创新型)(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

2．(2019·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是(　　)

A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1

C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1

解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.

3．(2019·四川达州一诊)方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是(　　)

A．a＜0 B．a＜－1

C．－1＜a＜0 D．a＞－1

解析：选B.因为方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，所以解得a＜－1.故选B.

4．(应用型)若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.

答案：[－3，0]

5．(应用型)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．

解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.

答案：[1，＋∞)