高中数学高考2 第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性

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第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性


　　　　　　三角函数的周期性与奇偶性
(1)(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
(2)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
【解析】　(1)由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上是减函数，所以函数f(x)在区间上是增函数，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，
所以θ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.
【答案】　(1)ABC　(2)A

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．　

1．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan
解析：选ABC.A项，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B项，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C项，y＝cos的最小正周期T＝＝π；
D项，y＝tan的最小正周期T＝.
2．设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：选A.f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.

　　　　　　三角函数的奇偶性、对称性
(多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【解析】　由题意，知f(x)的最小正周期T＝2×＝，所以ω＝＝4，所以f(x)＝sin(4x＋φ)，此时函数图象平移后所得图象对应的函数为y＝sin＝sin，当函数y＝sin的图象关于y轴对称时，必有＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，结合|φ|＜，得φ＝－，所以由4x－＝nπ(n∈Z)，得x＝＋(n∈Z)，当n＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象的一个对称中心为，由4x－＝mπ＋(m∈Z)，得x＝＋(m∈Z)，当m＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故选BD.
【答案】　BD

三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．　

1．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选C.y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D.故选C.
2．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
解析：选ACD.因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．因为y＝cos 2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增．故选ACD.

　　　　　　三角函数的图象与性质的综合问题
已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解】　(1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.

解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　

1．(2020·西安五校联考)当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
解析：选D.因为当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(A>0)，所以y＝f＝Asin＝－Acos x，所以函数y＝f为偶函数且图象关于点对称，故选D.
2．(2020·河北九校第二次联考)函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
解析：因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，所以，得0＜ω≤.又函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象关于直线x＝－π对称，所以－π·ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝－k－(k∈Z)，又0＜ω≤，所以ω＝.
答案：

思想方法系列9　三角函数中ω值的求法
一、利用三角函数的周期T求解
为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π B．π
C．π D．100π
【解析】　由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
【答案】　B

解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．　
二、利用三角函数的单调性求解
将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
【解析】　将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)＝2sin＝2sin ωx的图象．再根据y＝g(x)在上为增函数，可得ω·≥－，且ω×≤，解得ω≤2，故ω的最大值为2.
【答案】　2

根据正弦函数的单调递增区间，确定函数g(x)的单调递增区间，根据函数g(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．　
三、利用三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
【解析】　(1)因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
(2)由题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为＝2.
【答案】　(1)A　(2)2

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．　
四、利用三角函数的最值求解
(2020·贵阳市适应性考试)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象在区间[0，1]上恰有1个纵坐标是2的最高点，则ω的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　当x∈[0，1]时，因为ω＞0，所以ωx＋∈.记t＝ωx＋，则关于t的方程sin t＝1在上恰有一个实数根，结合正弦函数的图象可知ω＋∈，所以ω∈，选C.
【答案】　C

利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．　

[A级　基础练]
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sin cos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A.y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A.
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　)
A．0 B．3
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
3．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于点对称；③在上单调递增”的一个函数可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选B.对四个选项中的函数逐一验证：性质①四个选项中的函数都满足；性质②只有选项A，B中的函数满足；进一步验证性质③，只有选项B中的函数满足．故选B.
4．已知f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|(x∈R)，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)是周期为2π的奇函数
B．f(x)是值域为[0，2]，周期为π的函数
C．f(x)是周期为2π的偶函数
D．f(x)是值域为[－1，1]，周期为π的函数
解析：选B.当2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.即kπ≤x≤kπ＋，k∈Z时，sin 2x≥0，则f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|＝2sin 2x；
当2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z时，sin 2x≤0，f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|＝0.
作出函数f(x)的大致图象，如图所示．

根据图象可知f(x)为周期函数，最小正周期为π，函数的值域为[0，2]．故选B.
5．(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：选CD.因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋＝＋sin 2x＋＝sin＋1，所以函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故A，B不正确；由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝1时x＝，所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时x＝，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选CD.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则ω＝________．
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．(填序号)
解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，所以①是假命题；
f(x)的最小正周期为π，所以②是假命题；
当x∈时，2x∈，所以③是真命题；
因为f＝sin ＝－，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以④是真命题．
答案：③④
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
由f＝2，f(π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知＋＝，k∈N，
故T＝，k∈N；
又因为f(x)在区间上单调，
所以－≤，故T≥，
所以ω＝≤12，即≤12，
所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．
答案：9
9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
[B级　综合练]
11．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
解析：选ABC.函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；
令kπ－