高中数学高考3 4　定积分与微积分基本定理

这是一份高中数学高考3 4　定积分与微积分基本定理，共22页。试卷主要包含了定积分的定义，定积分的性质，微积分基本定理，定积分在几何中的简单应用，定积分在物理中的简单应用等内容，欢迎下载使用。

3．4　定积分与微积分基本定理


1．定积分的定义
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)作和式f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作______________，即f(x)dx＝f(ξi)．其中f(x)称为______________，x称为______________，f(x)dx称为______________，[a，b]为______________，a为积分下限，b为积分上限，“∫”称为积分号．
(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝____________(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；
(3)f(x)dx＝_____________________(其中a＜c＜b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x) ，那么f(x)dx＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F(b)－F(a)记作___________，即 f(x)dx＝___________＝___________.
4．定积分在几何中的简单应用
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S＝____________.

(2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S＝____________.
(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S＝____________.

一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝____________(其中a>0)；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝__________(其中a>0)．
5．定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a，b]上所经过的路程S＝____________.
(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.
(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.

自查自纠：
1．(1)f(x)dx　被积函数　积分变量　被积式　积分区间
(2)分割　取极限
2．(1)kf(x)dx　(2)f1(x)dx±f2(x)dx
(3)f(x)dx＋f(x)dx
3．F(b)－F(a)　　F(x)|　　F(b)－F(a)　　F(x)|
4．(1)f(x)dx　(2)－f(x)dx
(3)[f(x)－g(x)]dx　(4)2f(x)dx　　0
5．(1)V(t)dt　(2)F(x)dx　(3)F(x)cosθdx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()定积分∫(2x＋ex)dx的值为 (　　)
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
解：∫(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.故选C.
()汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是
(　　)
A. m B．6 m C. m D．7 m
解：s＝(3t＋2)dt＝|＝×4＋4－＝10－＝(m)．故选A.

已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 (　　)


A. B. C. D.
解：根据图象可知，二次函数f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以所求面积S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx＝2|＝2＝.故选B.

dx＝________.
解： dx的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以 dx＝.故填.
设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝________.
解：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋lnx|＝＋lne＝.故填.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　计算简单函数的定积分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)∫0sin2dx＝________.
解：∫0sin2dx＝∫0dx＝|0＝－.故填－.

(2)若∫0(sinx－acosx)dx＝2，则实数a＝________.

解：∫0(sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx)|0＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，所以a＝－1.故填－1.

(3)()若f(x)＝ f[f(1)]＝1，则a＝________.
解：因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f[f(1)]＝1得a3＝1，a＝1.故填1.

点　拨：
求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．

　(1)下列值等于1的是 (　　)
A.xdx B.(x＋1)dx 　
C.1dx D.dx
解：1dx＝x|＝1.故选C.

(2)若dx＝3＋ln2(a>1)，则a＝________.
解：由题意知dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.故填2.

(3)设a＝cosdx，则二项式的展开式中x的系数为 (　　)
A．240 B．193 C．7 D．－6
解：a＝cosdx＝(cosx－sinx)dx＝cosxdx－sinxdx＝2， ＝的展开式中x的系数为 C24(－1)2＝240.故选A.

类型二　计算分段函数的定积分
　　　(1)定积分|x2－2x|dx＝________.

解：|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝|＋|＝＋4＋4－＝8.故填8.

(2)()设f(x)＝ 则∫f(x)dx等于 (　　)
A. B. C. D．不存在

解：如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3|＋|
＝＋＝.故选C.

点　拨：
对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx求解．

　(1)定积分|x－1|dx＝________.
解：|x－1|dx
＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝|＋|
＝＋－＝1.故填1.
(2)求函数f(x)＝ 在区间[－2，4]上的定积分．
解：f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)|＋|＝.

类型三　利用定积分求平面图形的面积
　(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．4
解：由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)，且当x∈[0，2]时，4x≥x3，所以所求面积S＝ (4x－x3)dx＝|＝4.故选D.

(2)()(2x＋)dx＝________.

解：dx表示单位圆面积的，
所以dx＝.
又因为2xdx＝x2|＝1，
所以(2x＋ )dx＝2xdx＋dx＝1＋.故填1＋.

点　拨：
用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．
　　
　(1)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A. B．2 C. D.

解：由已知得l：y＝1，解方程组 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2|＝2＝.故选C.
(2)给出如下命题：
①1dx＝1dt＝b－a(a、b为常数，且a ②dx＝dx＝；
③f(x)dx＝2f(x)dx(a>0)．
其中正确命题的个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由于1dx＝a－b，1dt＝b－a，①错误；由定积分的几何意义知， dx和 dx都表示单位圆面积的，所以都等于，②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有f(x)dx＝2f(x)dx，③错误．故选B.

类型四　定积分在物理中的简单应用
　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 (　　)
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解：令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
所以汽车行驶的距离s＝dt
＝|
＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C.

点　拨：
物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
　　
　设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．
解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从 x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝ (x2＋1)dx＝|＝342(J)．故填342.

1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F(x)．
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．


　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　
1．定积分3xdx的值为 (　　)
A．3 B．1 C. D.
解：3xdx＝x2|＝.故选C.
2．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D.2xdx＋x2dx
解：因为f(x)＝
所以f(x)dx＝2xdx＋x2dx.故选D.
3．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 (　　)
A. B. C. D.

解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x2＋2x＝x，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S＝ [x－(x2＋2x)]dx＝|＝－＋＝.故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力的单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
解：F(x)cos30°dx＝(5－x2)dx
＝|＝，
所以F(x)做的功为 J．故选C.
5．()已知S1＝xdx， S2＝exdx，S3＝x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为 (　　)
A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2
C．S3＜S2＜S1 D．S2＜S3＜S1
解：S1＝x2|＝(4－1)＝，
S3＝x3|＝(8－1)＝＞，
S2＝ex|＝e2－e＝e(e－1)＞e＞.故选B.
6．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，
g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由①得f(x)g(x)＝sinxcosx＝sinx，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)dx＝(x2－1)dx＝－1＝－≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f(x)g(x)＝x3，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.
7．()若m>1，则f(m)＝ dx的最小值为________．
解：f(m)＝dx＝|＝m＋－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．故填 －1.
8．()考虑函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关系，计算：∫e21lnxdx＝____________.
解：y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，∫e21lnxdx即表示y＝0，y＝lnx，x＝e2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e21lnxdx＝2e2－exdx＝e2＋1.故填e2＋1.
9．()如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0，0)，A，B，C(0，1)，记线段OC，CB以及y＝sinx的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率．

解：阴影部分的面积为∫0(1－sinx)dx＝－1，
矩形的面积是×1＝，
所以点M落在区域Ω内的概率为＝1－.
10．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：由得交点A(1，1)；由得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝dx＋dx＝|＋|＝＋＋＝.

11．在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

解：S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－∫x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝∫x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．

解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为y＝ax2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a＝，即抛物线方程为y＝x2，故抛物线与直线y＝2所围成的图形的面积为2∫dx＝2|＝，梯形的面积为×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为＝＝1.2.故填1.2.

3．4　定积分与微积分基本定理


1．定积分的定义
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)作和式f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作______________，即f(x)dx＝f(ξi)．其中f(x)称为______________，x称为______________，f(x)dx称为______________，[a，b]为______________，a为积分下限，b为积分上限，“∫”称为积分号．
(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝____________(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；
(3)f(x)dx＝_____________________(其中a＜c＜b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x) ，那么f(x)dx＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F(b)－F(a)记作___________，即 f(x)dx＝___________＝___________.
4．定积分在几何中的简单应用
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S＝____________.

(2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S＝____________.
(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S＝____________.

一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝____________(其中a>0)；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝__________(其中a>0)．
5．定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a，b]上所经过的路程S＝____________.
(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.
(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.

自查自纠：
1．(1)f(x)dx　被积函数　积分变量　被积式　积分区间
(2)分割　取极限
2．(1)kf(x)dx　(2)f1(x)dx±f2(x)dx
(3)f(x)dx＋f(x)dx
3．F(b)－F(a)　　F(x)|　　F(b)－F(a)　　F(x)|
4．(1)f(x)dx　(2)－f(x)dx
(3)[f(x)－g(x)]dx　(4)2f(x)dx　　0
5．(1)V(t)dt　(2)F(x)dx　(3)F(x)cosθdx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()定积分∫(2x＋ex)dx的值为 (　　)
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
解：∫(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.故选C.
()汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是
(　　)
A. m B．6 m C. m D．7 m
解：s＝(3t＋2)dt＝|＝×4＋4－＝10－＝(m)．故选A.

已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 (　　)


A. B. C. D.
解：根据图象可知，二次函数f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以所求面积S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx＝2|＝2＝.故选B.

dx＝________.
解： dx的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以 dx＝.故填.
设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝________.
解：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋lnx|＝＋lne＝.故填.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　计算简单函数的定积分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)∫0sin2dx＝________.
解：∫0sin2dx＝∫0dx＝|0＝－.故填－.

(2)若∫0(sinx－acosx)dx＝2，则实数a＝________.

解：∫0(sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx)|0＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，所以a＝－1.故填－1.

(3)()若f(x)＝ f[f(1)]＝1，则a＝________.
解：因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f[f(1)]＝1得a3＝1，a＝1.故填1.

点　拨：
求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．

　(1)下列值等于1的是 (　　)
A.xdx B.(x＋1)dx 　
C.1dx D.dx
解：1dx＝x|＝1.故选C.

(2)若dx＝3＋ln2(a>1)，则a＝________.
解：由题意知dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.故填2.

(3)设a＝cosdx，则二项式的展开式中x的系数为 (　　)
A．240 B．193 C．7 D．－6
解：a＝cosdx＝(cosx－sinx)dx＝cosxdx－sinxdx＝2， ＝的展开式中x的系数为 C24(－1)2＝240.故选A.

类型二　计算分段函数的定积分
　　　(1)定积分|x2－2x|dx＝________.

解：|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝|＋|＝＋4＋4－＝8.故填8.

(2)()设f(x)＝ 则∫f(x)dx等于 (　　)
A. B. C. D．不存在

解：如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3|＋|
＝＋＝.故选C.

点　拨：
对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx求解．

　(1)定积分|x－1|dx＝________.
解：|x－1|dx
＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝|＋|
＝＋－＝1.故填1.
(2)求函数f(x)＝ 在区间[－2，4]上的定积分．
解：f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)|＋|＝.

类型三　利用定积分求平面图形的面积
　(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．4
解：由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)，且当x∈[0，2]时，4x≥x3，所以所求面积S＝ (4x－x3)dx＝|＝4.故选D.

(2)()(2x＋)dx＝________.

解：dx表示单位圆面积的，
所以dx＝.
又因为2xdx＝x2|＝1，
所以(2x＋ )dx＝2xdx＋dx＝1＋.故填1＋.

点　拨：
用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．
　　
　(1)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A. B．2 C. D.

解：由已知得l：y＝1，解方程组 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2|＝2＝.故选C.
(2)给出如下命题：
①1dx＝1dt＝b－a(a、b为常数，且a ②dx＝dx＝；
③f(x)dx＝2f(x)dx(a>0)．
其中正确命题的个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由于1dx＝a－b，1dt＝b－a，①错误；由定积分的几何意义知， dx和 dx都表示单位圆面积的，所以都等于，②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有f(x)dx＝2f(x)dx，③错误．故选B.

类型四　定积分在物理中的简单应用
　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 (　　)
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解：令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
所以汽车行驶的距离s＝dt
＝|
＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C.

点　拨：
物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
　　
　设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．
解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从 x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝ (x2＋1)dx＝|＝342(J)．故填342.

1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F(x)．
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．


　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　
1．定积分3xdx的值为 (　　)
A．3 B．1 C. D.
解：3xdx＝x2|＝.故选C.
2．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D.2xdx＋x2dx
解：因为f(x)＝
所以f(x)dx＝2xdx＋x2dx.故选D.
3．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 (　　)
A. B. C. D.

解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x2＋2x＝x，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S＝ [x－(x2＋2x)]dx＝|＝－＋＝.故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力的单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
解：F(x)cos30°dx＝(5－x2)dx
＝|＝，
所以F(x)做的功为 J．故选C.
5．()已知S1＝xdx， S2＝exdx，S3＝x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为 (　　)
A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2
C．S3＜S2＜S1 D．S2＜S3＜S1
解：S1＝x2|＝(4－1)＝，
S3＝x3|＝(8－1)＝＞，
S2＝ex|＝e2－e＝e(e－1)＞e＞.故选B.
6．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，
g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由①得f(x)g(x)＝sinxcosx＝sinx，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)dx＝(x2－1)dx＝－1＝－≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f(x)g(x)＝x3，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.
7．()若m>1，则f(m)＝ dx的最小值为________．
解：f(m)＝dx＝|＝m＋－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．故填 －1.
8．()考虑函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关系，计算：∫e21lnxdx＝____________.
解：y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，∫e21lnxdx即表示y＝0，y＝lnx，x＝e2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e21lnxdx＝2e2－exdx＝e2＋1.故填e2＋1.
9．()如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0，0)，A，B，C(0，1)，记线段OC，CB以及y＝sinx的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率．

解：阴影部分的面积为∫0(1－sinx)dx＝－1，
矩形的面积是×1＝，
所以点M落在区域Ω内的概率为＝1－.
10．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：由得交点A(1，1)；由得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝dx＋dx＝|＋|＝＋＋＝.

11．在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

解：S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－∫x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝∫x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．

解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为y＝ax2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a＝，即抛物线方程为y＝x2，故抛物线与直线y＝2所围成的图形的面积为2∫dx＝2|＝，梯形的面积为×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为＝＝1.2.故填1.2.

3．4　定积分与微积分基本定理


1．定积分的定义
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)作和式f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作______________，即f(x)dx＝f(ξi)．其中f(x)称为______________，x称为______________，f(x)dx称为______________，[a，b]为______________，a为积分下限，b为积分上限，“∫”称为积分号．
(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝____________(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；
(3)f(x)dx＝_____________________(其中a＜c＜b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x) ，那么f(x)dx＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F(b)－F(a)记作___________，即 f(x)dx＝___________＝___________.
4．定积分在几何中的简单应用
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S＝____________.

(2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S＝____________.
(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S＝____________.

一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝____________(其中a>0)；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝__________(其中a>0)．
5．定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a，b]上所经过的路程S＝____________.
(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.
(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.

自查自纠：
1．(1)f(x)dx　被积函数　积分变量　被积式　积分区间
(2)分割　取极限
2．(1)kf(x)dx　(2)f1(x)dx±f2(x)dx
(3)f(x)dx＋f(x)dx
3．F(b)－F(a)　　F(x)|　　F(b)－F(a)　　F(x)|
4．(1)f(x)dx　(2)－f(x)dx
(3)[f(x)－g(x)]dx　(4)2f(x)dx　　0
5．(1)V(t)dt　(2)F(x)dx　(3)F(x)cosθdx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()定积分∫(2x＋ex)dx的值为 (　　)
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
解：∫(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.故选C.
()汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是
(　　)
A. m B．6 m C. m D．7 m
解：s＝(3t＋2)dt＝|＝×4＋4－＝10－＝(m)．故选A.

已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 (　　)


A. B. C. D.
解：根据图象可知，二次函数f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以所求面积S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx＝2|＝2＝.故选B.

dx＝________.
解： dx的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以 dx＝.故填.
设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝________.
解：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋lnx|＝＋lne＝.故填.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　计算简单函数的定积分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)∫0sin2dx＝________.
解：∫0sin2dx＝∫0dx＝|0＝－.故填－.

(2)若∫0(sinx－acosx)dx＝2，则实数a＝________.

解：∫0(sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx)|0＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，所以a＝－1.故填－1.

(3)()若f(x)＝ f[f(1)]＝1，则a＝________.
解：因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f[f(1)]＝1得a3＝1，a＝1.故填1.

点　拨：
求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．

　(1)下列值等于1的是 (　　)
A.xdx B.(x＋1)dx 　
C.1dx D.dx
解：1dx＝x|＝1.故选C.

(2)若dx＝3＋ln2(a>1)，则a＝________.
解：由题意知dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.故填2.

(3)设a＝cosdx，则二项式的展开式中x的系数为 (　　)
A．240 B．193 C．7 D．－6
解：a＝cosdx＝(cosx－sinx)dx＝cosxdx－sinxdx＝2， ＝的展开式中x的系数为 C24(－1)2＝240.故选A.

类型二　计算分段函数的定积分
　　　(1)定积分|x2－2x|dx＝________.

解：|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝|＋|＝＋4＋4－＝8.故填8.

(2)()设f(x)＝ 则∫f(x)dx等于 (　　)
A. B. C. D．不存在

解：如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3|＋|
＝＋＝.故选C.

点　拨：
对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx求解．

　(1)定积分|x－1|dx＝________.
解：|x－1|dx
＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝|＋|
＝＋－＝1.故填1.
(2)求函数f(x)＝ 在区间[－2，4]上的定积分．
解：f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)|＋|＝.

类型三　利用定积分求平面图形的面积
　(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．4
解：由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)，且当x∈[0，2]时，4x≥x3，所以所求面积S＝ (4x－x3)dx＝|＝4.故选D.

(2)()(2x＋)dx＝________.

解：dx表示单位圆面积的，
所以dx＝.
又因为2xdx＝x2|＝1，
所以(2x＋ )dx＝2xdx＋dx＝1＋.故填1＋.

点　拨：
用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．
　　
　(1)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A. B．2 C. D.

解：由已知得l：y＝1，解方程组 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2|＝2＝.故选C.
(2)给出如下命题：
①1dx＝1dt＝b－a(a、b为常数，且a ②dx＝dx＝；
③f(x)dx＝2f(x)dx(a>0)．
其中正确命题的个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由于1dx＝a－b，1dt＝b－a，①错误；由定积分的几何意义知， dx和 dx都表示单位圆面积的，所以都等于，②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有f(x)dx＝2f(x)dx，③错误．故选B.

类型四　定积分在物理中的简单应用
　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 (　　)
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解：令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
所以汽车行驶的距离s＝dt
＝|
＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C.

点　拨：
物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
　　
　设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．
解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从 x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝ (x2＋1)dx＝|＝342(J)．故填342.

1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F(x)．
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．


　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　
1．定积分3xdx的值为 (　　)
A．3 B．1 C. D.
解：3xdx＝x2|＝.故选C.
2．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D.2xdx＋x2dx
解：因为f(x)＝
所以f(x)dx＝2xdx＋x2dx.故选D.
3．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 (　　)
A. B. C. D.

解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x2＋2x＝x，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S＝ [x－(x2＋2x)]dx＝|＝－＋＝.故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力的单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
解：F(x)cos30°dx＝(5－x2)dx
＝|＝，
所以F(x)做的功为 J．故选C.
5．()已知S1＝xdx， S2＝exdx，S3＝x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为 (　　)
A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2
C．S3＜S2＜S1 D．S2＜S3＜S1
解：S1＝x2|＝(4－1)＝，
S3＝x3|＝(8－1)＝＞，
S2＝ex|＝e2－e＝e(e－1)＞e＞.故选B.
6．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，
g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由①得f(x)g(x)＝sinxcosx＝sinx，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)dx＝(x2－1)dx＝－1＝－≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f(x)g(x)＝x3，是奇函数，所以f(x)g(x)dx＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.
7．()若m>1，则f(m)＝ dx的最小值为________．
解：f(m)＝dx＝|＝m＋－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．故填 －1.
8．()考虑函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关系，计算：∫e21lnxdx＝____________.
解：y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，∫e21lnxdx即表示y＝0，y＝lnx，x＝e2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e21lnxdx＝2e2－exdx＝e2＋1.故填e2＋1.
9．()如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0，0)，A，B，C(0，1)，记线段OC，CB以及y＝sinx的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率．

解：阴影部分的面积为∫0(1－sinx)dx＝－1，
矩形的面积是×1＝，
所以点M落在区域Ω内的概率为＝1－.
10．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：由得交点A(1，1)；由得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝dx＋dx＝|＋|＝＋＋＝.

11．在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

解：S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－∫x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝∫x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．

解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为y＝ax2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a＝，即抛物线方程为y＝x2，故抛物线与直线y＝2所围成的图形的面积为2∫dx＝2|＝，梯形的面积为×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为＝＝1.2.故填1.2.