高中数学高考3 第3讲　变量间的相关关系、统计案例　新题培优练

[基础题组练]

1．根据如下样本数据：

得到的线性回归方程为＝x＋，则(　　)

A.>0，>0　　　　　　　　 B.>0，<0

C.<0，>0   D.<0，<0

解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知>0，故选B.

2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)

A．66%   B．67%

C．79%   D．84%

解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.

3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

A．－1   B．0

C.   D．1

解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.

4．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

根据上表可得回归方程＝x＋中的为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为(　　)

A．111   B．117

C．118   D．123

解析：选B.因为＝53，＝103.5，所以＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得＝117，故选B.

5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．

由K2＝，

得K2＝≈9.616.

参照下表，

下列结论正确的是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”

C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

解析：选C.因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.

6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析：x变为x＋1，＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．

答案：0.245

7．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：

给出散点图如下：

根据以上信息，判断下列结论：

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；

②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；

③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．

其中正确的个数为________．

解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.

答案：1

8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算xi＝11，yi＝13，x＝21，则实数b的值为________．

解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝.

答案：

9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．

参考公式与临界值表：K2＝.

解：(1)列联表如下：

(2)根据列联表中的数据，得到

K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．

10．(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：

他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．

(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；

(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？

附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－.

解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．

(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得＝×(7×6－6)＝7.2，

＝×(30×6－31.8)＝29.64.

xiyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，

x＝364－62＝328.

＝＝＝＝3，

＝－＝29.64－3×7.2＝8.04.

所以y关于x的回归方程为＝3x＋8.04.

(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得＝3×18＋8.04＝62.04，

故预报值为62.04万元．

 [综合题组练]

1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：

(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．

①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；

②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

参考数据及公式：

K2＝

解：(1)列联表如下：

因为K2＝＝＝6.25＞3.841，

所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．

(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．

①抽到1人是45岁以下的概率为＝，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为＝.

故所求概率为＝.

②X＝0，1，2.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝.

可得随机变量X的分布列为

故E(X)＝1×＋2×＝.

2．(2019·洛阳第一次联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份(即x＝7时)的市场占有率．

(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

参考公式：回归直线方程为＝x＋，其中＝，＝－.

解：(1)由数据计算可得＝＝3.5，

＝＝16.

由公式计算可得，＝2，＝16－2×3.5＝9.

所以月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为＝2x＋9.

当x＝7时，＝2×7＋9＝23.

故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%.

(2)法一：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，

所以每辆A款车产生利润的期望值为

E(X)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元)．

由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，

所以每辆B款车产生利润的期望值为

E(Y)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元)．

所以E(X)>E(Y)，

所以应该采购A款单车．

法二：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，

所以每辆A款车可使用年限的期望值为

E(X)＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35(年)，

所以每辆A款车产生利润的期望值为2.35×500－1 000＝175(元)．

由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，

所以每辆B款车可使用年限的期望值为

E(Y)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7(年)，

所以每辆B款车产生利润的期望值为2.7×500－1 200＝150(元)．

所以应采购A款单车．