高中数学高考3 第3讲　等比数列及其前n项和　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)

A．1　 B．－

C．1或－ D．－1或

解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.

2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)

A．135 B．100

C．95 D．80

解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×＝135.

3．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)

A．12 B．10

C．8 D．2＋log35

解析：选B.由题a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.

4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)

A．7 B．5

C．－5 D．－7

解析：选D.法一：设数列{an}的公比为q，则由题意得所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

法二：由

解得或

所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是(　　)

A．13 B．12

C．11 D．10

解析：选B.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·

an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，所以a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，所以T＝(a1·an)n，即7292＝3n，所以n＝12.

6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝________．

解析：设{an}的公比为q(q>0)，因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2.

又a4＋2a6＝3，所以a6＝，所以q＝，a1＝16，所以S5＝＝31.

答案：31

7．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________．

解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.

答案：

8．(2019·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．

解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.

答案：2

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝.

(2)由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.

10．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d＝＝＝3，

所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝＝＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.

从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．

(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．

数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.

所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.

[综合题组练]

1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3，故选B.

2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：选C.{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1.an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．

因为{an}是等比数列，等比数列中有负数项，则q<0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．

按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，

相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24，36，－54，81是{an}中连续的四项．

q＝－或q＝－(因为|q|>1，所以此种情况应舍)，

所以q＝－.故选C.

3．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝________．

解析：因为{an}为等比数列，

所以a3·an－2＝a1·an＝64.

又a1＋an＝34，

所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，

解得或

又因为{an}是递增数列，

所以

由Sn＝＝＝42，

解得q＝4.

由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32，

解得n＝3.

答案：3

4．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．

解析：因为＝an，

令m＝1，则＝an，

即＝a1＝2，

所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，

Sn＝＝2n＋1－2.

答案：2n＋1－2

5．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.

(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．

(2)求{an}和{bn}的通项公式．

解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．

又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.

又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.

所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，

bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.

6．(应用型)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；

(2)求T2n.

解：(1)因为an·an＋1＝，

所以an＋1·an＋2＝，

所以＝，即an＋2＝an.

因为bn＝a2n＋a2n－1，

所以＝＝＝，

因为a1＝1，a1·a2＝，

所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝.

所以{bn}是首项为，公比为的等比数列．

所以bn＝×＝.

(2)由(1)可知，an＋2＝an，

所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，

所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

＝＋＝3－.