高中数学高考3 第3讲　函数的奇偶性及周期性　新题培优练

[基础题组练]

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝　　　　 B．y＝|x|－1

C．y＝lg x D．y＝

解析：选B.y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．

2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0，1)上是增函数

B．奇函数，且在(0，1)上是减函数

C．偶函数，且在(0，1)上是增函数

D．偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析：选A.易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln ＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.

3．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(　　)

A．1 B．3

C．－3 D．－1

解析：选C.因为函数f(x)＝f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，所以log2(1＋3)＝－[g(3)＋1]，则g(3)＝－3.故选C.

4．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于(　　)

A．－9 B．9

C．－3 D．0

解析：选B.因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(0.5)＝f(8.5)＝9.故选B.

5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，

所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，

所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.

6．(2019·四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是　(　　)

A．a>b>c B．c>a>b

C．b>c>a D．a>c>b

解析：选D.因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2.

所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．

因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，所以a>c>b，故选D.

7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．

解析：因为 f(x)为偶函数，

所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，

所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.

答案：1

8．(2019·山西太原联考)已知f(x)是奇函数，且x∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝－x2＋2x，若x∈(－∞，0)，则f(x)＝________．

解析：由题意知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＝－x2－2x＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋2x.

答案：x2＋2x

9．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．

解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，所以f(|2x－1|)<f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|2x－1|<，解得<x<.

答案：

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－，当1<x≤3时，f(x)＝cos ，则f(2 017)＝________．

解析：由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)

＝－＝－＝f(x)，

故函数f(x)的周期为6.

所以f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)．

因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，

而f(－1＋3)＝－，

所以f(1)＝f(－1)＝－＝－＝2.

所以f(2 017)＝2.

答案：2

11．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)

＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，

得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，

即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得

f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)·(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B.

2．(2019·湖南四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________．

解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的周期函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，a＝－1，所以当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，则f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝.

答案：

3．(应用型)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________．

解析：由题意知，f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔<x<1.

答案：

4．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f＝.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．

解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．

因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，

即函数f(x)是周期为2的周期函数，

所以f(0)＝0，即b＝－1.

又f＝f＝－f＝1－＝，

解得a＝.

(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝－1∈，

由f(x)为奇函数知，

当x∈(－1，0)时，f(x)∈，

又因为f(x)是周期为2的周期函数，

所以当x∈R时，f(x)∈，

设t＝f(x)∈，

所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝－，

即y＝－∈.

故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为.