高中数学高考3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例

这是一份高中数学高考3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例，共24页。试卷主要包含了向量的夹角，向量的数量积，平面向量数量积的运算律，平面向量数量积的有关结论，已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。
第3讲　平面向量的数量积及应用举例
最新考纲
考向预测
1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
命题趋势
平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.
核心素养
数学运算、逻辑推理


1．向量的夹角
(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，
结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．

(2)范围：0°≤θ≤180°.
特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．
当θ＝180°时，a与b共线反向．
当θ＝90°时，a与b互相垂直．
2．向量的数量积
(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，
结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
(2)数量积的几何意义
条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ
(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，
结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．
结论
几何表示
坐标表示
向量的模
|a|＝
|a|＝
夹角余弦
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC.由向量的运算法则知－＝；＋＋＝0，故A错，B对；
因为(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以||2＝||2，即AB＝AC，
所以△ABC为等腰三角形，故C对；
因为·>0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.
5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
解析：选B.设c与a－2b的夹角为θ.因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以|a－2b|＝，所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c||a－2b|cos θ－1＝cos θ，所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为，此时cos θ＝1.故选B.
6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a，b满足|a|＝3|b|，cosa，b＝，a·(a－b)＝16，则|b|＝________．
解析：因为|a|＝3|b|，cosa，b＝，所以a·(a－b)＝9|b|2－|b|2＝8|b|2＝16，所以|b|＝.
答案：
7．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
解析：因为|a|＝|a＋2b|，
所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，
所以a·b＝－|b|2，
令a与b的夹角为θ.
所以cos θ＝＝＝－.
答案：－
8．(2020·新高考卷改编)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是________．
解析：·＝||·||·cos ∠PAB＝2||·cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)．
答案：(－2，6)
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知，＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)方法一：由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
方法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
[B级　综合练]
11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)
A.·＝－1
B.＋＝0
C．|＋＋|＝
D.在方向上的投影为
解析：

选BCD.由题意知E为AB的中点，则CE⊥AB，以E为原点，EA，EC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，
因为∥，所以y－＝－y，
解得y＝，
即O是CE的中点，则＋＝0，所以选项B正确；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以选项C正确；
因为CE⊥AB，所以·＝0，所以选项A错误；
＝，＝(1，)．
故在方向上的投影为＝＝，所以选项D正确．故选BCD.
12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　)

A. B．
C．3 D．
解析：选D.令＝k(04，所以0