高中数学高考3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3   B．－2

C．2   D．3

解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.设a与b的夹角为α，

因为(a－b)⊥b，

所以(a－b)·b＝0，

所以a·b＝b2，

所以|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，

所以cos α＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.

3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　)

A．10 B．11

C．12 D．13

解析：选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以·＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.

4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　)

A．－ B.

C．－ D.

解析：选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)．

又＝2，所以Q，

所以＝，＝，

所以·＝＋1＝.故选D.

5．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)

A．13 B．7

C．5 D．3

解析：选C.连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.

6．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．

解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2＝2a·b，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.

答案：

7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．

解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|

＝

＝＝4.

答案：4

8．(2019·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．

解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.

答案：

9．已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.

(1)若m⊥n，求角α；

(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．

解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，

即为－sin α(sin α－2)－cos2 α＝0，

即sin α＝，

可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.

(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，

即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，

即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，

即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.

10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线的长分别为4，2.

(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．

由(－t)·＝0，得：

(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，

从而5t＝－11，

所以t＝－.

法二：·＝t2，＝(3，5)，

t＝＝－.

[综合题组练]

1．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·＝(　　)

A．－18   B．－6

C．18   D．6

解析：选C.法一：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝2＝18，故选C.

法二：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)．由题意得∠CBA＝，又＝，所以D(－1，3)，则·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故选C.

2．(2019·南宁模拟)已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.因为＋＋＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.因为·＝2，所以||·||·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4.又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，所以△OBC的面积为，故选A.

3．(应用型)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A．－2 B．－

C．－ D．－1

解析：选B.如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－.

4．(应用型)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．

解析：由平面向量的数量积的几何意义知，·等于||与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.

答案：9

5．(创新型)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，

所以－cos x＝3sin x.

若cos x＝0，则sin x＝0，

与sin2x＋cos2x＝1矛盾，

故cos x≠0.

于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)

＝3cos x－sin x＝2cos.

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，

从而－1≤cos≤.

于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.

6．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.

(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，

所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，

sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，

所以cos C＝，而C∈(0，π)，

所以∠C＝.

(2)由＝知，－＝－，

所以2＝＋，

两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①

又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，

所以a2＋b2－ab＝12.②

由①②得ab＝8，

所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.