高中数学高考4 3　三角函数的图象与性质

这是一份高中数学高考4 3　三角函数的图象与性质，共13页。试卷主要包含了“五点法”作图，周期函数的定义，三角函数的图象和性质，求三角函数的周期，三角函数的单调性，)已知定义在R上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。
4．3　三角函数的图象与性质


1．“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ，
， ．
(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ，
， ， ， ．
2．周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．
3．三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
①________
②________
③_______
图象
（一个周期）



值域
④________
⑤________
R
对称性
对称轴：
⑥________；对称中心：
⑦_______
对称轴：
⑧________；
对称中心：
⑨________
无对称轴；
对称中心：
⑩______
最小正
周期
⑪________
⑫_________
⑬_______
单调性
单调增区间
⑭________；
单调增区间
⑮________
单调减区间
⑯________；
单调减区间
⑰________
单调增区间
⑱_______
奇偶性
⑲________
⑳________
_______

自查自纠：
1．(1)(0，0)　　(π，0)　　(2π，0)
(2)(0，1)　　(π，－1)　　(2π，1)
2．f(x＋T)＝f(x)　最小正周期
3．①R　②R　③　④[－1，1]
⑤[－1，1]　⑥x＝kπ＋(k∈Z)　⑦(kπ，0)(k∈Z)
⑧x＝kπ(k∈Z)　⑨(k∈Z)
⑩(k∈Z)　⑪2π　⑫2π　⑬π
⑭(k∈Z)
⑮(k∈Z)
⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
⑱(k∈Z)　⑲奇函数
⑳偶函数　奇函数


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx
解：对A项，y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；
对B项，y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；
对C项，y＝sin2x＋cos2x＝sin，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；
对D项，y＝sinx＋cosx＝sin，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．
故选B.
()函数f(x)＝的最小正周期为 (　　)
A. B. C．π D．2π
解：由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
()设k∈R，则函数 f(x)＝sin＋k的部分图象不可能为 (　　)

　　　　A　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　D
解：当k＝0时，f(x)＝sin＝，其图象为A；当k＝2时，f(x)＝sin＋2，其图象为B；当k＝－1时，f(x)＝sin－1，其图象为C；由选项D的图象可知f(x)max＝2，则2＝1＋k⇒k＝1，此时 f(x)＝sin＋1的图象关于直线x＝对称，这与图象不符．故选D.
()已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＋b＝________.
解：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝ sin＋1，所以A＝，b＝1，即A＋b＝ ＋1.故填＋1.
()已知函数f(x)＝2sin的图象为C，则：
①C关于直线x＝对称；
②C关于点对称；
③f(x)在上是增函数；
④把y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上结论正确的有________．(填所有正确的序号)
解：当x＝时，f(x)＝－2，为最小值，故C关于直线x＝对称，①正确．
当x＝时，f(x)＝2，为最大值，故C不关于点对称，②错误．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
因为⊆，
所以f(x)在上单调递增，故③正确(或由T＝π及解②所述知③正确)．
把y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度，
可得y＝2cos
＝2cos＝2sin
＝2sin＝f(x)，故④正确．故填①③④.

　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　
类型一　三角函数的定义域、值域
　(1)函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是___________________________________________．
解：要使函数有意义，必须使sinx－cosx＞0.
方法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：

在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|＋2kπ＜x＜＋2kπ， k∈Z}．
方法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx＞cosx，只须＜x＜(在[0，2π]内)．

所以定义域为{x|＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}．
方法三：sinx－cosx＝sin＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ＜x－＜π＋2kπ，解得2kπ＋＜x＜＋2kπ，k∈Z.
所以定义域为.
故填.

点　拨：
①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．
(2)()函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
解：f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋1，由自变量的范围x∈可得，cosx∈[0，1]，当cosx＝时，函数f(x)取得最大值1.故填1.

点　拨：
本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题．求最值时，要注意三角函数的取值范围．
(3)已知函数f(x)＝cos，求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：因为－≤x≤0，所以－π≤2x＋≤，
所以当2x＋＝－π，即x＝－时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)有最大值，f(x)max＝，即f(x)在上的最小值为－1，最大值为.

点　拨：
求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．
　(1)函数y＝的定义域为________．
解：因为y＝，所以
所以原函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ＋π，且x≠2kπ＋，x≠2kπ＋π，k∈Z}．故填{x|2kπ＜x＜2kπ＋π，且x≠2kπ＋，x≠2kπ＋π，k∈Z}．
(2)已知函数f(x)＝sin，x∈R，求f(x)在 上的最大值和最小值．
解：因为x∈，所以2x－∈.
当2x－＝－，即x＝0时，函数f(x)有最小值－；
当2x－＝，即x＝时，函数f(x)有最大值1.
(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．
解：设t＝sinx－cosx，则t2＝1－2sinxcosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为.
故填.

类型二　三角函数的周期性
　　　求下列函数的最小正周期．
(1)y＝(asinx＋cosx)2(a∈R)；
(2)y＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx；
(3)y＝2.
解：(1)y＝[sin(x＋φ)]2
＝(a2＋1)sin2(x＋φ)
＝(a2＋1)·(φ为辅助角)，
所以此函数的最小正周期为T＝＝π.
(2)y＝2cosx－sin2x＋sinxcosx
＝sinxcosx＋cos2x－sin2x＋sinxcosx
＝sin2x＋cos2x
＝2sin，
该函数的最小正周期为T＝＝π.
(3)y＝2的最小正周期是y＝2sin(4x－)的最小正周期的一半，即T＝×＝.

点　拨：
求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先把其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定．

　()已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 (　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解：根据题意有f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4.故选B.
类型三　三角函数的奇偶性
　(1)判断下列函数的奇偶性．
(Ⅰ)f(x)＝coscos(π＋x)；
(Ⅱ)f(x)＝.
解：(Ⅰ)f(x)＝coscos(π＋x)
＝(－sin2x)(－cosx)
＝cosxsin2x.
因为f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，x∈R，所以f(x)是奇函数．
(Ⅱ)由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠ ＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.
因为f(x)的定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝＝f(x)．
所以f(x)是偶函数．

(2)已知函数f(x)＝2sin 是偶函数，则θ的值为 (　　)
A．0 B. C. D.
解：因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又因为θ∈，所以θ＋＝，解得 θ＝，经检验符合题意．故选B.

点　拨：
判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x取代x，再化简判断，还可利用f(－x)±f(x)＝0是否成立来判断其奇偶性．
　　
　(1)判断下列函数的奇偶性．
(Ⅰ)f(x)＝；
(Ⅱ)f(x)＝lg(sinx＋)．
解：(Ⅰ)因为2sinx－1≥0，所以sinx≥，
即x∈(k∈Z)，此区间不关于原点对称．
所以f(x)是非奇非偶函数．
(Ⅱ)由题意知函数f(x)的定义域为R.
f(－x)＝lg[sin(－x)＋]
＝lg＝lg
＝－lg(＋sinx)＝－f(x)．
所以函数f(x)是奇函数．

(2)若函数y＝3cos(2x－＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．
解：依题意得，－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝ kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.故填.
类型四　三角函数的单调性
　(1)()已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．
(Ⅰ)求f的值；
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(Ⅰ)由sin＝，cos＝－，得
f＝－－2××＝2.
(Ⅱ)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得
f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
函数f(x)的单调递增区间即y＝sin的单调递减区间．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)()已知ω＞0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是 (　　)
A. 　　　　　　B.
C. 　　　　　　D．(0，2]
解：由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆，所以 解得≤ω≤.故选A.

点　拨：
求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；②求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解(若ω