高中数学高考4 第4讲　二次函数与幂函数　新题培优练

[基础题组练]

1．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．0　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0<m<4.

又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，

所以m2－4m为偶数，因此m＝2.

2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)

A．－3　　　　　　　　　 B．1

C．2 D．1或2

解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.

3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

解析：选A.当0<a<1时，y＝logax为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝<0，排除C，D；当a>1时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝>0，排除B.故选A.

4．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，2)

解析：选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.

当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．

5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是(　　)

A．(－4，2)

B．(－2，4)

C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)

解析：选C.依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<－4.

6．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c<a<b B．a<b<c

C．b<c<a D．b<a<c

解析：选A.根据题意，m－1＝1，

所以m＝2，所以2n＝8，

所以n＝3，所以f(x)＝x3.

因为f(x)＝x3是定义在R上的增函数，

又－<0<<＝1<ln π，

所以c<a<b.

7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0

解析：选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数．

因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－＝2，

则4a＋b＝0，

又f(3)>f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a<0.

故选B.

8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝x＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数，

又f(a＋1)<f(10－2a)，

所以解得

所以3<a<5.

答案：(3，5)

9．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．

解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，

所以3＝9a，即a＝.

所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.

答案：y＝x2－2x＋3

10．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.

答案：(0，1]

11．已知函数f(x)＝bx2－2ax＋a(a，b∈R)的图象过点.

(1)当a＝2时，求函数y＝logf(x)的单调增区间；

(2)当a＜0时，求使函数f(x)的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a值．

解：因为f(x)＝bx2－2ax＋a的图象过点，

所以b＝1，

(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2，

令f(x)＞0可得，

x＞2＋或x＜2－，

所以f(x)在(2＋，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－)上单调递减，

y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知

函数y＝logf(x)的单调增区间为(－∞，2－)．

(2)当a＜0时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴x＝a＜0，

①a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，

当x＝－1时，函数有最小值f(－1)＝1＋3a＝－2，

当x＝1时，函数有最大值f(1)＝1－a＝2，

解得a＝－1，

②0＞a＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x＝a时，函数有最小值f(a)＝a－a2＝－2，

解得，a＝2(舍)或a＝－1(舍)，

综上可得，a＝－1.

12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

对称轴x＝－∈[－2，3]，

所以f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

所以函数f(x)的值域为.

(2)对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；

②当－>1，即a<－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

所以－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．

综上可知，a＝－或－1.

[综合题组练]

1．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是　(　　)

A．[0，＋∞) B．(－∞，0]

C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)

解析：选C.由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.

2．(应用型)已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　)

A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)<f(x2) D．与a值有关

解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝，

又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，

所以当x1，x2在对称轴的两侧时，

－x1>x2－，故f(x1)<f(x2)．

当x1，x2都在对称轴的左侧时，

由单调性知f(x1)<f(x2)．

综上，f(x1)<f(x2)．

3．(创新型)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点．

答案：

4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，

且－＝－1，

解得a＝1，b＝2，

所以f(x)＝(x＋1)2.

所以F(x)＝

所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．

又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.

故b的取值范围是[－2，0]．