高中数学高考4 第4讲　基本不等式　新题培优练

[基础题组练]

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab　　 B．a＋b≥2

C. ＋>   D. ＋≥2

解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

对于D，因为ab>0，

所以＋≥2 ＝2.

2．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg>lg x(x>0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；

对于选项B，当sin x<0时显然不成立；

对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；

对于选项D，因为x2＋1≥1，

所以0<≤1.故选C.

3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)

A.    B.

C．－1 D．0

解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.

4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A. B．2

C．2 D．4

解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，

由＝＋≥2＝2，

所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为2.

5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)

A．2 B．2

C．4 D．2

解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，

所以lg(2x·8y)＝lg 2，

所以2x＋3y＝2，

所以x＋3y＝1.

因为x>0，y>0，

所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.

6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．

解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，

所以xy≤＝＝1，

所以≥1；

又≥M恒成立，

所以M≤1，即M的最大值为1.

答案：1

7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

所以＋＝

＝＋＋≥＋2＝.

当且仅当a＝2b＝时取等号．

答案：

8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．

解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.

答案：2

9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．

解：(1)y＝(2x－3)＋＋

＝－＋.

当x<时，有3－2x>0，

所以＋≥2＝4，

当且仅当＝，

即x＝－时取等号．

于是y≤－4＋＝－，

故函数的最大值为－.

(2)因为0<x<2，所以2－x>0，

所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，

即x＝1时取等号，

所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，

得＋＝1，

又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝.

得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2 ＝18.

当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

[综合题组练]

1．(应用型)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9 B．12

C．18 D．24

解析：选B.由＋≥，

得m≤(a＋3b)＝＋＋6.

又＋＋6≥2＋6＝12，

当且仅当＝，

即a＝3b时等号成立，

所以m≤12，所以m的最大值为12.

2．(应用型)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)

A．1   B.

C．9 D．16

解析：选B.＋

＝·

＝

≥

＝，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.

3．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．

解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1，

又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，

当且仅当＝，即x＝1时取等号，

故函数f(x)的最小值为3.

答案：1　3

4．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.

求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；

(2)＋的最小值．

解：(1)因为x>0，y>0，

所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.

因为2x＋5y＝20，

所以2≤20，xy≤10，

当且仅当2x＝5y时，等号成立．

因此有解得

此时xy有最大值10.

所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.

所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.

(2)因为x>0，y>0，

所以＋＝·

＝≥＝.

当且仅当＝时，等号成立．

由

解得

所以＋的最小值为.

5．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．