高中数学高考4 第4讲　数列求和　新题培优练

这是一份高中数学高考4 第4讲　数列求和　新题培优练，共6页。试卷主要包含了已知数列{an}满足，数列{an}满足等内容，欢迎下载使用。
[基础题组练]1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)A．－200　　 B．－100C．200 D．100解析：选D.由题意知S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)A．990 B．1 000C．1 100 D．99解析：选A.n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)A．3 B．2C．1 D．0解析：选A.因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.4.＋＋＋…＋的值为(　　)A.   B.－C.－   D.－＋解析：选C.因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝＝＝－.5．(2019·开封调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 018等于(　　)A．22 018－1 B．3×21 009－3C．3×21 009－1 D．3×21 008－2解析：选B.a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，所以＝2.所以a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝＋＝3·21 009－3.故选B.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 018＝________．解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通项公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，则其前n项和Sn＝＝，所以＝＝2(－)，Tn＝＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故T2 018＝＝.答案：7．已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________．解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝210－2＝1 022.答案：1 0228．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 018项的和等于________．解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2 018项的和等于S2 018＝1 009×＝.答案：9．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.解：(1)＝(32－1)＝3，当n≥2时，因为＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，当n＝1，＝32n－1也成立，所以an＝.(2)bn＝log3＝－(2n－1)，因为＝＝(－)，所以＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.10．(2019·唐山市摸底考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝.(1)求an；(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由已知可得，2Sn＝3an－1，①所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，化简得an＝3an－1(n≥2)，在①中，令n＝1可得，a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有an＝3n－1.(2)bn＝(n－1)3n－1，Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③则3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n＝－(n－1)×3n＝.所以Tn＝. [综合题组练]1．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)A．76　 B．78C．80 D．82解析：选B.由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为(　　)A．2 015 B．2 013C．1 008 D．1 009解析：选D.因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故选D.3．已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 019项和为________．解析：由“凸数列”的定义及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，所以数列{bn}是周期为6的周期数列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是数列{bn}的前2 019项和等于b1＋b2＋b3＝－4.答案：－44．(一题多解)(2019·合肥模拟)数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：通解：an＋1＝，两边同时取倒数得＝＝＋，整理得＝＋3，所以－＝3，所以数列{}是以＝3为首项，3为公差的等差数列，所以＝3n，所以an＝，所以数列{an}是常数列，所以Sn＝.优解：用归纳法求解，a1＝，根据an＋1＝，可得a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，经验证an＋1＝，从而Sn＝.5．(2019·合肥模拟)已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设{an}的公差为d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2.所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12，又S2，S3－1，S4成等比数列，所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)·(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n＝(－1)n(＋)，当n为偶数时，Tn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)，所以Tn＝－1＋＝－.当n为奇数时，Tn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)，所以Tn＝－1－＝－.所以Tn＝.6．(2019·银川质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an} 的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝＝<＝.