高中数学高考5 第5讲 第1课时　椭圆及其性质 　新题培优练

[基础题组练]

1．焦点在x轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则长轴长是(　　)

A．3　　　　　　　　　　　 B．6

C．2   D.

解析：选C.因为椭圆＋＝1(m>0)的焦点在x轴上，所以m＞1，

则a2＝m，b2＝1，

所以c＝＝，

由题意可得2＝4，即m＝5.所以a＝.

则椭圆的长轴长是2.故选C.

2．(2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1

B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1

D.＋＝1或＋＝1

解析：选B.因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，

所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

3．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)

A．4   B．6

C．8   D．12

解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.

4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．

5．(2019·辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

6．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．

解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.

答案：＋＝1

7．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.

设M(x，y)，

则得

所以M的坐标为(3，)．

答案：(3，)

8．(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．

解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.

又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0<e≤.

答案：

9．已知F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.

(1)求△ABF2的周长；

(2)若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．

解：(1)因为F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，

过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.

所以△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4.

(2)设直线l的方程为x＝my－1，

由，得(m2＋2)y2－2my－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，

因为AF2⊥BF2，所以·＝0，

所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2

＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2

＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4

＝－2m×＋4

＝＝0.

所以m2＝7.

所以△ABF2的面积S＝×|F1F2|×＝.

10．(2019·陕西西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.

(1)若e＝，求椭圆的方程；

(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围．

解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2.又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，

依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2.因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，

所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.

即＋9＝0，

将其整理为k2＝＝－1－.

因为<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18.

所以k2≥，即k∈∪.

[综合题组练]

1．(2019·唐山模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(c，c)，则S△F1AF2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.

2．(2019·广东中山一模)设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.

3．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，所以0<e<.故选B.

4．(2019·四川南充模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．

解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.

答案：

5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.

(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0，

因为OA⊥OB，所以·＝0，

即tx0＋2y0＝0，

解得t＝－.

又x＋2y＝4，

所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2

＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4

＝＋＋4(0<x≤4)．

因为＋≥4(0<x≤4)，

当且仅当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.

6.(综合型)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．

解：(1)设椭圆的左焦点为F1，

根据已知，椭圆的左、右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，

因为H在椭圆上，

所以2a＝|HF1|＋|HF2|＝

＋＝6，

所以a＝3，b＝2，故椭圆的方程是＋＝1.

(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，

|PF2|＝

＝＝，

因为0<x1<3，

所以|PF2|＝3－x1，在圆中，M是切点，

所以|PM|＝＝

＝＝x1，

所以|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3，同理：|QF2|＋|QM|＝3，

所以|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，因此△PF2Q的周长是定值6.