高中数学高考6 第5讲 第2课时　直线与椭圆的位置关系　新题培优练

[基础题组练]

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)

A．至多为1　　　　　　　 B．2

C．1   D．0

解析：选B.由题意知，>2，即<2，

所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.

2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B.

3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C.设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.

4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2   B.

C.   D.

解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.

5．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C.c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.

6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．

解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．

由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得

x1＋x2＝，x1x2＝0.

则|AB|＝

＝

＝ ＝.

答案：

7．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

解析：由点差法可求出k1＝－·，

所以k1·＝－，即k1k2＝－.

答案：－

8．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．

解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

9．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，

点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．

解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.

在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，

解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①

设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，

因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②

把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.

10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率大于零的直线过D(－1，0)与椭圆交于E，F两点，若＝2，求直线EF的方程．

解：(1)由题意，＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.

由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝，

得＝，所以m＝1，m＝－1(舍去)，

直线EF的方程为x＝y－1即x－y＋1＝0.

[综合题组练]

1．(一题多解)(2019·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　)

A.　　　　　　　　   B.

C.   D.

解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得＝－·.因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以＝，e＝＝＝，故选C.

法二：将直线方程x－y＋5＝0代入＋＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以＝8，解得a＝2b，又c＝＝b，所以e＝＝.故选C.

2．(综合型)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)

A．4   B．3

C．2   D．1

解析：选D.因为(＋)·＝(＋)·

＝·＝0，

所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，

所以S△F1PF2＝mn＝1.

3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，

kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，

所以－＝－，y0＝，

把P代入椭圆方程得＋＝1，

所以＝，所以e＝＝.

答案：

4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．

解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，

即a2－c2<ac，

故＋－1>0即e2＋e－1>0，e>或e<，又0<e<1，所以<e<1.

答案：

5．(2019·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点A(1，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0，1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．

解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，

所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．

当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)。

联立，得消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.

Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝，y1y2＝.

因为点B在以MN为直径的圆上，

所以·＝0.因为·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，

所以(m2＋1)＋(m－1)＋2＝0，

整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.

所以直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.

6．(应用型)(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，＝.记点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．

解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．

由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)．

所以得

由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，

所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，

整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，

知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．

由题意知，直线AB的斜率存在．

设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得

(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－.

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.

由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，

即＋＝1，解得k2＝2.

这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，原点到直线AB的距离d＝＝，

所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.