高中数学高考7 第7讲　定积分与微积分基本定理 新题培优练

[基础题组练]

1．定积分(3x＋ex)dx的值为(　　)

A．e＋1　　　　　　　　　　 B．e

C．e－ D．e＋

解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.

2．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为(　　)

A．1 B．2

C．－1 D．－2

解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.

3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)

A．－1 B．－

C.  D．1

解析：选B.因为f(x)＝x2＋2f(x)dx，

所以f(x)dx＝|

＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.

4．(2019·湖南湘中名校联考)设f(x)＝则f(x)dx的值为(　　)

A.＋   B.＋3

C.＋ D.＋3

解析：选A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋＝＋，故选A.

5．由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)

A.   B.

C. D.

解析：选A.由解得或所以阴影部分的面积为(－x2)dx＝.故选A.

6．定积分(x2＋sin x)dx＝________．

解析：(x2＋sin x)dx

＝x2dx＋sin xdx

＝2x2dx＝2·＝.

答案：

7.(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．

解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．

所以(x2tan x＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.

答案：2

8．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．

解析：由题意知W＝－dx

＝－＝－－.

答案：－－

9．求下列定积分：

(1)dx；

(2)(cos x＋ex)dx.

解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx

＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.

(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx

＝sin x|＋ex|＝1－.

10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．

解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，

设过点(1，2)处的切线的斜率为k，

则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，

所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，

即y＝2x.

y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分：

由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积

S＝(2x－x2)dx＝|＝4－＝.

[综合题组练]

1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为(　　)

A.  B．4－ln 3

C．4＋ln 3 D．2－ln 3

解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：

由得或

由得

故阴影部分的面积为dx＝

＝4－ln 3.

2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，

所以x＝，x0＝±.

又因为0≤x0≤1，所以x0＝.

答案：

3.(＋ex－1)dx＝________．

解析：(＋ex－1)dx

＝dx＋(ex－1)dx.

因为dx表示单位圆的上半部分的面积，

所以dx＝.

而(ex－1)dx＝(ex－x)

＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，

所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.

答案：＋e－－2

4．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________．

解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，

所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．

所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.

所以f(x)＝x3－3x2.

故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.

答案：－4

5．(创新型)如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝的切线l.

(1)求切线l的方程；

(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.

解：(1)由f(x)＝，

所以f′(x)＝.

又点A (6，4)为切点，所以f′(6)＝，

因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.

(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．

在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，

所以点B(－2，0)．

故S＝dx－dx

＝－(4x－8)＝.

6．(应用型)如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．

解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.

结合题图，得交点坐标分别是

A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．

所以S1＝(t2－x2)dx＝|

＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.

S2＝(x2－t2)dx＝|

＝－

＝t3－t2＋，0＜t＜1.

由S1＝S2，

得t3＝t3－t2＋，

所以t2＝.又0＜t＜1，

所以t＝.

所以当t＝时，S1＝S2.