高中数学高考7 第7讲　函数的图象　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·山西第一次联考)函数f(x)＝2|x|－x2的图象大致为(　　)

解析：选C.由题意知，当x＞0时，f′(x)＝2xln 2－2x，当x→0时，2x→1，2x→0，f′(x)＞0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D，选C.

2．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)

解析：选D.在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.

3．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x)　 B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)

解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.

法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

4．若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)

A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝－2

C．a＝－1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2

解析：选B.令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.

5．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选C.由y＝f(t)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.

6．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)

解析：选B.因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.故选B.

7.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于________．

解析：由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，

所以f(x)＝

故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.

答案：－1

8．(2019·南昌模拟)定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为________．

解析：因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，所以f＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，因为当x＜0，若－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，当x＞0，若0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上xf(x)＞0的解集为∪.

答案：∪

9．给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．

解析：函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4，5)．

答案：(4，5)

10．直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2＝________．

解析：因为y＝＝＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A，B关于点(－3，5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.

所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.

答案：4

11．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；

(3)求f(x)在[－2，5]上的最小值，最大值．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

因为x＞0时，f(x)＝x2－2x.

所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x.

因为y＝f(x)是R上的偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x.

(2)函数f(x)的图象如图所示：

由图可得：函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)．

(3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上，

当x＝±1时，取最小值－1，

当x＝5时，取最大值15.

12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图象；

(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；

(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．

解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

(2)f(x)＝x|x－4|

＝

f(x)的图象如图所示．

(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．

(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．

[综合题组练]

1．(创新型)(2019·四川绵阳模拟)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选D.法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x＝2时，y＝4－∈(3，4)，故选D.

法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－∈(2，3)，故选D.

2．(应用型)(2019·云南昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

解析：选C.如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

3．(创新型)已知点A(1，0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为________．

解析：设B(x0，ln x0)，x0＞0，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.此方程根的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．

答案：1

4．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)(x≠0)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，

即2－y＝－x－＋2，

即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.

因为g(x)在(0，2]上为减函数，

所以1－≤0在(0，2]上恒成立，

即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，

故实数a的取值范围是[3，＋∞)．