高中数学高考8 3　空间点、线、面之间的位置关系

这是一份高中数学高考8 3　空间点、线、面之间的位置关系，共10页。试卷主要包含了平面的基本性质，空间两条直线的位置关系，平行公理，等角定理等内容，欢迎下载使用。

8．3　空间点、线、面之间的位置关系



1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．
(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．
公理2的推论如下：
①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②经过两条相交直线，有且只有一个平面；
③经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．
2．空间两条直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．
②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．
③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．
3．平行公理
公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．
4．等角定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．

自查自纠：
1．(1)两点　直线在平面内　(2)不在一条直线
(3)有且只有一条
2．(1)一个公共点　没有公共点　没有公共点
(2)③　互相垂直　异面垂直
3．同一条直线
4．相等或互补


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解：易知仅B正确．故选B．
()设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：
①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．
其中真命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交、平行、异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可能异面、相交、平行，故③错．故选A．
()若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 (　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选D．
有下列四个命题：
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；
④若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．
其中正确命题的序号是________．
解：在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线，所以①正确．在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．

在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．故填①②．
()如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．

解：不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．

在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，
则△OEC是直角三角形，
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为＝．故填．



类型一　基本概念与性质问题
()ABCD­A1B1C1D1是正方体，在图1中，E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图1、2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解：在图3中，过点E作EN平行于B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
在图4中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

证明：在图3中，因为直线EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M．因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．
在图4中，C1M在平面DCC1D1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．

点　拨：
本题解题的关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面，进而找出两面相交的交线．
　　
　如图所示，E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线．

解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，
分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M．


因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则平面BED1F∩平面ABCD＝MB．
故直线MB即为所求两平面的交线．
类型二　点共线、线共点问题
　如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
在△BCD中，因为＝＝，
所以GH∥BD，所以EF∥GH．
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，即P，A，C三点共线．

点　拨：
①证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．②要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．③证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2．

　已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

证明：(1)如图所示．
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD．所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面AA1C1C为α，
又设平面BDEF为β．因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β．所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF 所以DE与BF相交，设交点为M，
则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，
得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1．又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于点M．
类型三　共面问题
　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c和l共面．

证明：方法一：(辅助平面法)
因为a∥b，所以a，b确定一个平面α．
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α．
又A∈l，B∈l，所以l⊂α．
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．
又a∥c，所以直线a，c确定一个平面β．
因为C∈c，c⊂β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内，
由公理2的推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α．
所以a，b，c，l共面．
方法二：(纳入平面法)
因为a∥b，所以a，b确定一个平面α．
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α．
又A∈l，B∈l，所以l⊂α．
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面，
即直线a，b，c和l共面．

点　拨：
证明点、线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有：①辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合；②纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内．
　下列如图所示的正方体和正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__________．(填所有满足条件图形的序号)


解：易知①③中PS∥QR，所以四点共面．在②中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观察知点S在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③．
类型四　异面直线问题
　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否为异面直线？并说明理由；
(2)D1B和CC1是否为异面直线？并说明理由．
解：(1)AM和CN不是异面直线，理由如下：

如图，连接A1C1，AC，MN，因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1．
又A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一个平面内．
故AM和CN不是异面直线．
(2)D1B和CC1是异面直线，理由如下：
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，
所以BC⊂平面CC1D1，
这与ABCD­A1B1C1D1是正方体相矛盾，所以假设不成立，故D1B和CC1是异面直线．
另解：D1在CC1D1内，B不在CC1D1内，CC1不过D1．

点　拨：
空间两条直线的位置关系共有三种：异面，平行，相交．要证两条直线是异面直线，要否定其为平行、相交两种情况，另外，也可由“与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线”证明．要证两条直线相交，只要证其共面不平行即可．
　　
　()在长方体ABCD­A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．

(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？
解：(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．

因为B1D1∥BD，l∥B1D1，所以l∥直线BD．
(2)在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成α角，因为BD∥B1D1，所以直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图．

由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈．
当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．
　　
　()如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于．

解：取BC的中点G，连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH．

因为E是CC1的中点，所以GC1∥EH．
所以∠OEH即为异面直线OE与FD1所成的角．
在△OEH中，OE＝，HE＝，OH＝． cos∠OEH＝＝．故填．

点　拨：
求解本题的关键是作出异面直线所成角，先选择适当的点，如线段的中点或端点，再平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；然后证明所作的角是异面直线所成的角；接着在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；最后注意取舍，因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤ 90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
　　
　()如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成角的余弦值为 (　　)

A． 　　　 　B．－
C． 　　　 　D．－
解：设正三棱柱ABC­A1B1C1各条棱长为1，取AB1中点M，BC中点N，易知所求角为∠AMN(或其补角)，cos∠AMN＝＝．故选A．



1．判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题．解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观．如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型．
2．要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力．在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误．
3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是．
4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．
5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面三条直线一定共面的是 (　　)
A．a，b，c两两平行
B．a，b，c两两相交
C．a∥b，c与a，b均相交
D．a，b，c两两垂直
解：因为a∥b，所以a，b确定了一个平面，又c与a，b均相交，所以c只能在a，b确定的平面内，即a，b，c共面．故选C．
2．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 (　　)

解：A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C．
3．()如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．直线CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．A1C1∥平面AB1E
D．直线AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
解：直线CC1与B1E均在平面BCC1B1内，两直线不是异面直线，故A错误；
因为△A1B1C1是正三角形，所以△ABC是正三角形，所以∠CAB＝60°，可知AC⊥平面ABB1A1不成立，故B错误；
因为AC∥A1C1，AC与平面AB1E相交，所以A1C1∥平面AB1E不成立，故C错误；
由△ABC是正三角形，得AE⊥BC，又AE⊥CC1，所以AE⊥平面BCC1B1，所以直线AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，故D正确．故选D．
4．()给出下列命题，其中正确的两个命题是 (　　)
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．
A．①与② B．②与③
C．③与④ D．②与④
解：直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．故选D．
5．()如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线 (　　)
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
解：因为每条棱都有4对，但其中都有2次重复，故所求为＝24．故选B．
6．()已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝ CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
(　　)
A． B． C． D．

解：如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝．在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以 cos∠B1AD1＝＝．故选C．
7．()如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．
解：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．故填③④．
8．()在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，则AD与BC所成角的大小是________．
解：如图所示，

取BD的中点G，连接EG，GF，易知直线AD与BC所成的角即∠EGF．又EF2＝EG2＋GF2．所以∠EGF＝90°，则异面直线AD与BC所成的角为90°．故填90°．
9．()正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AD、A1B1、B1B的中点．
(1)画出过M，N，P三点的平面与平面AC的交线以及与平面BC1的交线；
(2)设过M，N，P三点的平面与BC交于点R，求PR的长．

解：(1)延长NP、AB交于点Q．
则Q∈平面MNP，Q∈平面AC．
又M∈平面MNP，M∈平面AC．
所以平面MNP∩平面AC＝MQ．
设MQ∩BC＝R．则平面MNP∩平面BC1＝PR．
(2)因为P为BB1中点，
所以BQ＝B1N＝AB，所以BR＝AM＝(cm)．
所以PR＝＝(cm)．
10．()如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点．

(1)求三棱锥B1­A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果不平行，请说明理由；如果平行，请在平面A1BE上作出一条与B1F平行的直线，并说明理由．
解：(1)VB1­A1BE＝VE­A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×2×2＝．
(2)B1F∥平面A1BE．如图，延长A1E交AD的延长线于点H，

连接BH交CD于点G，连接EG，则BG即为所求．理由如下：
因为A1B∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE．又因为A1B∥CD1，所以GE∥CD1，且E为DD1的中点，所以G为CD的中点，又F为C1D1中点，所以BG∥B1F，则BG即为所求．
11．()如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°．

(1)求四棱锥P­ABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解：(1)在四棱锥P­ABCD中，
因为PO⊥平面ABCD，所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°．
在Rt△AOB中，因为AB＝2，
所以BO＝ABsin30°＝1．
在Rt△POB中，因为PO⊥OB，所以PO＝BO·tan60°＝，
因为底面菱形的面积S＝2××2×2×＝2，
所以四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝×2×＝2．
(2)如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF．

因为E为PB的中点，
所以EF∥PA，
所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．

AO＝AB·cos30°＝＝OP，
在Rt△POA中，PA＝，EF＝．
在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝，
由余弦定理得cos∠DEF＝＝＝．
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为．
()如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，

RP与DC的延长线交于点K．给出以下说法：
① 直线MN⊂平面PQR；
② 点K在直线MN上；
③ M，N，K，A四点共面．
其中说法正确的是________．
解：因为PQ在平面PQR内，M在直线PQ上，所以M在平面PQR内，因为RQ在平面PQR内，N在直线RQ上，所以N在平面PQR内，所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．
因为M在直线CB上，而CB在平面BCD内，所以M在平面BCD内，由①知M在平面PQR内，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，所以M，N，K三点共线，所以②正确．
因为M，N，K三点共线，所以M，N，K，A 四点共面，故③正确．故填①②③．