高中数学高考8 第7讲　抛物线　新题培优练

这是一份高中数学高考8 第7讲　抛物线　新题培优练，共8页。试卷主要包含了过抛物线C，已知直线y＝k与抛物线C，抛物线C，设抛物线C，已知点M和抛物线C等内容，欢迎下载使用。

 [基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝2x D．y2＝x
解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求抛物线的方程为y2＝x.故选A.
3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选B.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B.设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是.故选B.
5．(2019·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，

由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
所以点B为线段AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，
因为k＞0，
所以点B的坐标为(1，2)，
所以k＝＝.故选D.
6．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
解析：设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.
所以抛物线方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，即x＝y－2，由得y2－6y＋8＝0.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，
所以x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，因为F(1，0)，所以·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8.
答案：8
8．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.
答案：2
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 (1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2·，与y2＝2px联立，
消去y有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，
则x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)，设C(x3，y3)，
则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)
＝(4λ＋1，4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
[综合题组练]
1．(2019·重庆六校联考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝y D．x2＝y
解析：选A.因为双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，即＝4，所以＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y.
2．(2019·湖南郴州模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程是(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：选C.设A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，如图，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线AB的斜率为，
故|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，
从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故＝＝，即p＝，
从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
3．(2019·广东六校第一次联考)抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为(　　)
A.　　 　　B. C.　　 　　D．1
解析：选A.由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋b.由题意知y0≥b＞0，联立得，整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－，则|AB|＝，点M的纵坐标y0＝＝x＋x＝＋b.因为弦AB的长为3，所以＝3，即(1＋k2)(＋2b)＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2＝12，当且仅当时取等号，即1＋8y0≥12，y0≥，点M的纵坐标的最小值为，故选A.
4．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．
因为CA⊥CB，所以·＝0，
即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0，
所以x＝a－1≥0，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
5．(应用型)(2019·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.
(1)求·；
(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2pkx－p2＝0，
则所以y1·y2＝，
所以·＝x1·x2＋y1·y2＝－p2.
(2)由x2＝2py，知y′＝，
所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，所以直线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得M.
所以kMF＝－，所以直线MF与AB相互垂直．
由弦长公式知，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2p(k2＋1)，
用－代替k得，|CD|＝2p，
四边形ACBD的面积S＝·|AB|·|CD|＝2p2＝p2，
解得k2＝3或k2＝，
即k＝±或k＝±.
6．(创新型)(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，
所以－＝－1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得
结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
因为△ABN的面积的最小值为4，
所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.