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高中数学高考10 1 两个计数原理、排列与组合
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这是一份高中数学高考10 1 两个计数原理、排列与组合，共10页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理，两个计数原理的区别，排列，组合，故填7，故选B等内容，欢迎下载使用。
10．1 两个计数原理、排列与组合
1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事．
4．两个计数原理解决计数问题时的方法
最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
5．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．
(3)排列数公式：A＝________________________．这里n，m∈N*，并且________．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列．A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝________．
6．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
_＝________________．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n．
(4)组合数的两个性质
①C＝____________；
②C＝____________＋____________．
自查自纠：
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
3．相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成
4．(1)不重不漏 (2)步骤完整 相互独立
5．(1)一定的顺序 (2)所有不同排列 A
(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m≤n
(4)排列 n！ 1
6．(1)合成一组 (2)所有不同组合 C
(3)
(4)①C ②C C
()某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为 ( )
A．8 B．15 C．125 D．243
解：由分步计数原理知所求为3×5＝15．故选B．
()用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( )
A．24 B．48 C．60 D．72
解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C种方法，再将剩下的四个数字排列有A种方法，则满足条件的五位数有CA＝72个．故选D．
()安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C种方法，然后进行全排列A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C×A＝36种方法．故选D．
()6名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有________种．
解：所求为AA＝480种．故填480．
()从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种________．(用数字填写答案)
解：根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20－4＝16种．或由直接法：CC＋CC＝16．故填16．
类型一 分类与分步的区别与联系
(1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
解：当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2．
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．故填13．
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
解：当个位数字为2时，十位数字为1，共1个；
当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个；
当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个；
……
当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，…，7，8，共8个．由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36．故填36．
(3)()教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有________种．
解：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24＝16种不同的走法．故填16．
点 拨：
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理．
(1)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4班，轮船有3班，问此人的走法可有________种．
解：因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(种)．故填7．
(2)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．故选D．
(3)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 ( )
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种
解：每封信投到信箱都有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有43种投法．故选C．
类型二 排列数与组合数公式
解方程：
(1)3A＝4A；
(2)C＝C＋C＋C．
解：(1)利用3A＝3，4A＝4，
得到＝．
利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9－x)＝4×3．
再化简得到x2－19x＋78＝0．
解方程得x1＝6，x2＝13．由于A和A有意义，所以x满足x≤8和x－1≤9．于是将x2＝13舍去，原方程的解是x＝6．
(2)由组合数的性质可得
C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C，
又C＝C，且C＝C＋C，
即C＋C＝C＋C．所以C＝C，
所以5＝x＋2，x＝3．经检验知x＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x＝3．
点 拨：
①应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．②应用组合数性质C＝C＋C时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．
(1)解方程：3A＝2A＋6A．
解：由3A＝2A＋6A得
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0．
解得x＝5或(舍去)．
即原方程的解为x＝5．
解：由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m≤Z}，－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2．故C＝C＝28．故填28．
类型三 排列的基本问题
5名男生、2名女生站成一排照相：
(1)两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
(2)两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？
(3)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
(4)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
(5)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？
(6)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
解：(1)两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排：AA＝240(种)；
(2)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：AA＝2 400(种)；
(3)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：AA＝1 440(种)；
(4)把男生任意全排列，然后在六个空中(包括两端)有顺序地插入两名女生：AA＝3 600(种)；
(5)七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的：A＝2 520(种)；
(6)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的A 个，再去掉女生乙在右端的A个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的A 种排除了两次，要找回来一次．有A－2A＋A＝3 720(种)．
点 拨：
有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数．解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种．正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”．
3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生又有A种排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同排法．
(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
法二(元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占其中的，所以符合要求的排法种数为A＝20 160(种)．
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法) 甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任意一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种．由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种)．
法二(特殊位置法) 先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960(种)．
法三(间接法) 8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960(种)．
类型四 组合的基本问题
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有1名队长当选；
(4)至多有2名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解：(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C·C＝165(种)．
(3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)．
或采用间接法：C－C＝825(种)．
(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：有C种选法；
第二类女队长不当选：有C·C＋C·C＋C·C＋C种选法．
故选法共有：
C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)．
点 拨：
①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如对题(3)，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C·C≠825，请同学们自己找错因．
从7名男同学和5名女同学中选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？
(1)A，B必须当选；
(2)A，B都不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女同学当选；
(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任．
解：(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有C＝120(种)．
(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有C＝252(种)．
(3)直接法，分两类：A，B一人当选，有CC＝420(种)．
A，B都不当选，有C＝252(种)．
所以总的选法有420＋252＝672(种)．
间接法：从12人中选5人的选法总数中减去从不含A，B的10人中选3人(即A，B都当选)的选法总数，得到总的选法有C－C＝672(种)．
(4)直接法，分四步：选2名女生，有CC＝10×35＝350(种)；
选3名女生，有CC＝210(种)；
选4名女生，有CC＝35(种)；
选5名女生，有C＝1(种)．
所以总的选法有350＋210＋35＋1＝596(种)．
间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，
即满足条件的选法有C－(C＋CC)＝596(种)．
(5)分三步：选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有CC＝35(种)；
再选出2男1女，补足5人的方法有CC＝60(种)；
最后为第二步选出的3人分派工作，有A＝6(种)方法．
所以总的选法有35×60×6＝12 600(种)．
类型五 分堆与分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
解：(1)无序不均匀分组问题．
先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．
故共有CCC＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．
先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
．
(7)直接分配问题．
甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法，余下4本留给丙，有C种方法，故共有分配方式CCC＝30(种)．
点 拨：
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列．分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：．对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组．
(1)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有____________种．
(2)()西部某县将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组， 分配到两所小学支教， 若要求女生不能单独成组， 且每组最多5人， 则不同的分配方案共有 ( )
A．36种 B．68种 C．104种 D．110种
解：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C－1)A＝68(种)；第二类有(C－C)A＝36(种)，所以共有68＋36＝104种不同的方案．故选C．
(3)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
解：将4名学生均分为2个小组共有＝3种分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．故选A．
类型六 数字排列问题
用0，1，2，3，4，5这6个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有A个；
第二类：2在个位时，千位从1，3，4，5中选定一个(A种)，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156(个)．
(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，
总的排法共A·A＝144(种)，
其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共A·A＝12(种)，此时构不成六位数，
故总的六位数的个数为A·A－A·A＝144－12＝132(种)．
点 拨：
本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位．
(1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有
( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
解：由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72(个)；若万位是4，则有2×A＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B．
(2)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( )
A．24 B．18 C．12 D．6
解：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12个奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6个奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18个奇数．故选B．
1．解答计数应用问题的总体思路
根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况．
(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题．
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．
2．排列与组合的区别与联系
排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是“先选，后排”．
3．解排列、组合题的基本方法
(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．
(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉．
(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步．
(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．
(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段，共有C种放法．这是针对相同元素的组合问题的一种方法．
(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
4．解组合问题时应注意
(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义．
(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)．
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法＝．
1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 ( )
A．56 B．65
C． D．6×5×4×3×2
解：因为每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．故选A．
2．A＝10A，n＝ ( )
A．1 B．8 C．9 D．10
解：原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n>3且n∈N*，整理得n＝8．故选B．
3．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
解：从中选出2名男医生的选法有C＝15种，从中选出1名女医生的选法有C＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C．
4．()三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有
( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
解：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，
同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6种传递方法．故选B．
5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( )
A．48 B．36 C．24 D．18
解：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．故选B．
6．()我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有 ( )
A．18个 B．15个 C．12个 D． 9个
解：由题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4，0，0组成3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数，分别为211，121，112．共有3＋6＋3＋3＝15(个)．故选B．
7．将6个免费培养的教育专业师范毕业生平均分到3所学校去任教，有种不同的分派方法____________．
8．()如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为____________．
解：1，2，4两两相邻，5仅与4相邻，故按区域1与3是否同色分类：
①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A种方法．
所以区域1与3同色时，共有4A＝24种方法．
②区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．
所以共有A×2×1×3＝72种方法．
故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96．故填96．
9．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到所求点的个数是6×6＝36个．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6个．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b．因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)可得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
10．将9个人以下列三种方式分为三个小组，完成三项不同的任务，则不同的分配方法各有多少种？
(1)将9个人以2，3，4分为三组；
(2)将9个人以2，2，5分为三组；
(3)将9个人以3，3，3分为三组．
解：(1)先将9个人以2，3，4分为三组，有C·C·C＝1 260种分法，再把三项不同的任务分给这三个组，有A＝6种分法，因此共有1 260×6＝7 560种分配方法．
11．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种)放法．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且＋＝λ(λ∈R)，则满足条件的函数f(x)有____________种．
解：由＋＝λ(λ∈R)，说明△ABC是等腰三角形，且BA＝BC，必有f(1)＝f(3)，f(1)≠f(2)．
当f(1)＝f(3)＝1、2、3、4时，f(2)均有3种取值情况，因而满足条件的函数f(x)有4×3＝12种．故填12．
10．1 两个计数原理、排列与组合
1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事．
4．两个计数原理解决计数问题时的方法
最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
5．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．
(3)排列数公式：A＝________________________．这里n，m∈N*，并且________．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列．A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝________．
6．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
_＝________________．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n．
(4)组合数的两个性质
①C＝____________；
②C＝____________＋____________．
自查自纠：
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
3．相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成
4．(1)不重不漏 (2)步骤完整 相互独立
5．(1)一定的顺序 (2)所有不同排列 A
(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m≤n
(4)排列 n！ 1
6．(1)合成一组 (2)所有不同组合 C
(3)
(4)①C ②C C
()某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为 ( )
A．8 B．15 C．125 D．243
解：由分步计数原理知所求为3×5＝15．故选B．
()用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( )
A．24 B．48 C．60 D．72
解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C种方法，再将剩下的四个数字排列有A种方法，则满足条件的五位数有CA＝72个．故选D．
()安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C种方法，然后进行全排列A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C×A＝36种方法．故选D．
()6名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有________种．
解：所求为AA＝480种．故填480．
()从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种________．(用数字填写答案)
解：根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20－4＝16种．或由直接法：CC＋CC＝16．故填16．
类型一 分类与分步的区别与联系
(1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
解：当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2．
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．故填13．
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
解：当个位数字为2时，十位数字为1，共1个；
当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个；
当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个；
……
当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，…，7，8，共8个．由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36．故填36．
(3)()教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有________种．
解：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24＝16种不同的走法．故填16．
点 拨：
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理．
(1)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4班，轮船有3班，问此人的走法可有________种．
解：因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(种)．故填7．
(2)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．故选D．
(3)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 ( )
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种
解：每封信投到信箱都有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有43种投法．故选C．
类型二 排列数与组合数公式
解方程：
(1)3A＝4A；
(2)C＝C＋C＋C．
解：(1)利用3A＝3，4A＝4，
得到＝．
利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9－x)＝4×3．
再化简得到x2－19x＋78＝0．
解方程得x1＝6，x2＝13．由于A和A有意义，所以x满足x≤8和x－1≤9．于是将x2＝13舍去，原方程的解是x＝6．
(2)由组合数的性质可得
C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C，
又C＝C，且C＝C＋C，
即C＋C＝C＋C．所以C＝C，
所以5＝x＋2，x＝3．经检验知x＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x＝3．
点 拨：
①应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．②应用组合数性质C＝C＋C时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．
(1)解方程：3A＝2A＋6A．
解：由3A＝2A＋6A得
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0．
解得x＝5或(舍去)．
即原方程的解为x＝5．
解：由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m≤Z}，－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2．故C＝C＝28．故填28．
类型三 排列的基本问题
5名男生、2名女生站成一排照相：
(1)两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
(2)两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？
(3)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
(4)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
(5)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？
(6)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
解：(1)两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排：AA＝240(种)；
(2)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：AA＝2 400(种)；
(3)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：AA＝1 440(种)；
(4)把男生任意全排列，然后在六个空中(包括两端)有顺序地插入两名女生：AA＝3 600(种)；
(5)七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的：A＝2 520(种)；
(6)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的A 个，再去掉女生乙在右端的A个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的A 种排除了两次，要找回来一次．有A－2A＋A＝3 720(种)．
点 拨：
有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数．解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种．正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”．
3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生又有A种排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同排法．
(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
法二(元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占其中的，所以符合要求的排法种数为A＝20 160(种)．
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法) 甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任意一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种．由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种)．
法二(特殊位置法) 先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960(种)．
法三(间接法) 8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960(种)．
类型四 组合的基本问题
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有1名队长当选；
(4)至多有2名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解：(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C·C＝165(种)．
(3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)．
或采用间接法：C－C＝825(种)．
(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：有C种选法；
第二类女队长不当选：有C·C＋C·C＋C·C＋C种选法．
故选法共有：
C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)．
点 拨：
①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如对题(3)，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C·C≠825，请同学们自己找错因．
从7名男同学和5名女同学中选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？
(1)A，B必须当选；
(2)A，B都不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女同学当选；
(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任．
解：(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有C＝120(种)．
(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有C＝252(种)．
(3)直接法，分两类：A，B一人当选，有CC＝420(种)．
A，B都不当选，有C＝252(种)．
所以总的选法有420＋252＝672(种)．
间接法：从12人中选5人的选法总数中减去从不含A，B的10人中选3人(即A，B都当选)的选法总数，得到总的选法有C－C＝672(种)．
(4)直接法，分四步：选2名女生，有CC＝10×35＝350(种)；
选3名女生，有CC＝210(种)；
选4名女生，有CC＝35(种)；
选5名女生，有C＝1(种)．
所以总的选法有350＋210＋35＋1＝596(种)．
间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，
即满足条件的选法有C－(C＋CC)＝596(种)．
(5)分三步：选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有CC＝35(种)；
再选出2男1女，补足5人的方法有CC＝60(种)；
最后为第二步选出的3人分派工作，有A＝6(种)方法．
所以总的选法有35×60×6＝12 600(种)．
类型五 分堆与分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
解：(1)无序不均匀分组问题．
先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．
故共有CCC＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．
先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
．
(7)直接分配问题．
甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法，余下4本留给丙，有C种方法，故共有分配方式CCC＝30(种)．
点 拨：
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列．分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：．对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组．
(1)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有____________种．
(2)()西部某县将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组， 分配到两所小学支教， 若要求女生不能单独成组， 且每组最多5人， 则不同的分配方案共有 ( )
A．36种 B．68种 C．104种 D．110种
解：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C－1)A＝68(种)；第二类有(C－C)A＝36(种)，所以共有68＋36＝104种不同的方案．故选C．
(3)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
解：将4名学生均分为2个小组共有＝3种分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．故选A．
类型六 数字排列问题
用0，1，2，3，4，5这6个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有A个；
第二类：2在个位时，千位从1，3，4，5中选定一个(A种)，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156(个)．
(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，
总的排法共A·A＝144(种)，
其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共A·A＝12(种)，此时构不成六位数，
故总的六位数的个数为A·A－A·A＝144－12＝132(种)．
点 拨：
本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位．
(1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有
( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
解：由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72(个)；若万位是4，则有2×A＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B．
(2)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( )
A．24 B．18 C．12 D．6
解：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12个奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6个奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18个奇数．故选B．
1．解答计数应用问题的总体思路
根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况．
(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题．
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．
2．排列与组合的区别与联系
排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是“先选，后排”．
3．解排列、组合题的基本方法
(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．
(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉．
(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步．
(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．
(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段，共有C种放法．这是针对相同元素的组合问题的一种方法．
(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
4．解组合问题时应注意
(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义．
(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)．
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法＝．
1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 ( )
A．56 B．65
C． D．6×5×4×3×2
解：因为每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．故选A．
2．A＝10A，n＝ ( )
A．1 B．8 C．9 D．10
解：原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n>3且n∈N*，整理得n＝8．故选B．
3．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
解：从中选出2名男医生的选法有C＝15种，从中选出1名女医生的选法有C＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C．
4．()三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有
( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
解：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，
同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6种传递方法．故选B．
5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( )
A．48 B．36 C．24 D．18
解：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．故选B．
6．()我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有 ( )
A．18个 B．15个 C．12个 D． 9个
解：由题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4，0，0组成3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数，分别为211，121，112．共有3＋6＋3＋3＝15(个)．故选B．
7．将6个免费培养的教育专业师范毕业生平均分到3所学校去任教，有种不同的分派方法____________．
8．()如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为____________．
解：1，2，4两两相邻，5仅与4相邻，故按区域1与3是否同色分类：
①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A种方法．
所以区域1与3同色时，共有4A＝24种方法．
②区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．
所以共有A×2×1×3＝72种方法．
故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96．故填96．
9．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到所求点的个数是6×6＝36个．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6个．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b．因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)可得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
10．将9个人以下列三种方式分为三个小组，完成三项不同的任务，则不同的分配方法各有多少种？
(1)将9个人以2，3，4分为三组；
(2)将9个人以2，2，5分为三组；
(3)将9个人以3，3，3分为三组．
解：(1)先将9个人以2，3，4分为三组，有C·C·C＝1 260种分法，再把三项不同的任务分给这三个组，有A＝6种分法，因此共有1 260×6＝7 560种分配方法．
11．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种)放法．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且＋＝λ(λ∈R)，则满足条件的函数f(x)有____________种．
解：由＋＝λ(λ∈R)，说明△ABC是等腰三角形，且BA＝BC，必有f(1)＝f(3)，f(1)≠f(2)．
当f(1)＝f(3)＝1、2、3、4时，f(2)均有3种取值情况，因而满足条件的函数f(x)有4×3＝12种．故填12．
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