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福建省三明市尤溪县梅仙中学2022-2023学年八年级下学期二次月考数学试卷(含答案)
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这是一份福建省三明市尤溪县梅仙中学2022-2023学年八年级下学期二次月考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市尤溪县梅仙中学八年级（下）第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列是一元一次不等式的是（ ）
A．3x≥7 B．x﹣2＜y﹣2 C．5+4＞8 D．x2＜9
2．（4分）如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
4．（4分）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
5．（4分）如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（4，2） D．（4，3）
6．（4分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b＜1的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜0
7．（4分）已知点P（m+1，）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C′在BC上．若∠B'C'B＝52°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．74° C．66° D．64°
9．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝4cm，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝1cm，则OM的长为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．0.5cm
10．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论一定成立的有（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则DA＝DB；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c 0．
12．（4分）已知点Q的坐标为（﹣1，3），若将点Q向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点P，则点P的坐标是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝6，BC＝11，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，则此时BC′的长为 ．
14．（4分）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝BC，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，DE＝3，则BE的长为 ．
16．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知两个有理数﹣9和5，若再添一个负整数m，使得这三个数的平均数小于m，求m的值．
18．（8分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．
19．（8分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ．
（2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x．
20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（3，﹣1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
（1）请在图中作出△ABC．
（2）将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为A1，B1，请作出平移后的△A1B1O，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
（3）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ΔAB2C2，点B、C的对应点分别为B2、C2，请作出ΔAB2C2，并直接写出点C2，B2的坐标．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
（1）如图1，连接AE，BD，求证：AE＝BD．
（2）如图2，点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE．求证：BH＝GE．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD．
（2）∠CAD的度数是 ；
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
24．（12分）小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
请解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）已知A，B两种商品均打六折后再销售，小明同学再次购买A，B两种商品共10件，消费金额不超过200元．求至少购买A种商品的件数．
25．（14分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点A′，连接AA′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（1）由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点A′关于直线l对称，
∴∠APC＝∠A′PC．
∵∠A′PC＝∠BPD，∴∠ ＝∠ ，
可得若满足∠ ＝∠ ，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（2）如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
2022-2023学年福建省三明市尤溪县梅仙中学八年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列是一元一次不等式的是（ ）
A．3x≥7 B．x﹣2＜y﹣2 C．5+4＞8 D．x2＜9
解：A、3x＞7中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；
B、x−2＜y−2中含有两个未知数，故本选项错误；
C、5+4＞8中不含有未知数，故本选项错误；
D、x2＜9中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项错误．
故选：A．
2．（4分）如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
解：∵点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
则a+b的值为：﹣5﹣1＝﹣6．
故选：A．
4．（4分）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
解：由图可得：
①2≠3≠4，故①﹣﹣不等边三角形，故A选项不符合题意；
②三角形中两角相等，故②﹣﹣等腰三角形，
③3＝3＝3，有一个角是60°，故③﹣﹣等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（4，2） D．（4，3）
解：∵B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵DB＝1，
∴OD＝4﹣1＝3，
∴△AOB向右平移了3个单位长度，
∵点A的坐标为（1，2），
∴点C的坐标为：（4，2）．
故选：C．
6．（4分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b＜1的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜0
解：从图象得知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（0，1），并且函数值y随x的增大而增大，因而则不等式kx+b＜1的解集是x＜0．
故选：D．
7．（4分）已知点P（m+1，）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵点P（m+1，）在第二象限，
∴，
解得m＜﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C′在BC上．若∠B'C'B＝52°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．74° C．66° D．64°
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，
∴AC′＝AC，
∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′，
∵∠B′C′B＝52°，
∴∠CC′B′＝180°﹣52°＝128°，
∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′＝×128°＝64°，
故选：D．
9．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝4cm，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝1cm，则OM的长为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．0.5cm
解：作PC⊥OB于点C，
∴∠PCO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝30°，
∵OP＝4cm，
∴OC＝2cm，
∵PM＝PN．MN＝1cm，PC⊥MN，
∴CM＝MN＝cm，
∴OM＝OC﹣CM＝2﹣＝1.5（cm），
故选：B．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论一定成立的有（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则DA＝DB；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①由作图可得，AD是∠BAC的平分线；故①正确；
②当∠B＝30°时，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD，故②正确；
③∵∠B与∠BAD不一定相等，
∴AD与BD不一定相等，
∴点D不一定在AB的垂直平分线上，故③错误，
∴结论一定成立的有①②，2个．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c ＜ 0．
解：∵a＞b，ac＜bc，
∴c＜0，
故答案为：＜．
12．（4分）已知点Q的坐标为（﹣1，3），若将点Q向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点P，则点P的坐标是 （4，4） ．
解：将点Q（﹣1，3），向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，
∴点P的坐标是（﹣1+5，3+1），
即（4，4），
故答案为：（4，4）．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝6，BC＝11，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，则此时BC′的长为 5 ．
解：如图，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，
∴AC′＝AC，
∵∠C＝60°，
∴△ACC′为等边三角形，
∴CC＝AC＝6，
∴BC′＝BC﹣CC′＝11﹣6＝5．
故答案为：5．
14．（4分）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 5x+2（30﹣x）≤100 ．
解：设小张买了x支钢笔，则买了（30﹣x）本笔记本，
根据题意得：5x+2（30﹣x）≤100．
故答案为：5x+2（30﹣x）≤100．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝BC，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，DE＝3，则BE的长为 6﹣6 ．
解：连接EA，
∵D是AC的中点，DE⊥AC，
∴CE＝EA，
∵∠C＝30°，∠CDE＝90°，
∴CE＝2DE＝6，
∴CD＝＝3，
∴CA＝2CD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝6，
∴BE＝6﹣6，
故答案为：6﹣6．
16．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ﹣1＜m≤0 ．
解：不等式组整理得：，
由不等式组的整数解只有3个，得到整数解为0，1，2，
∴﹣1＜m≤0，
故答案为：﹣1＜m≤0．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知两个有理数﹣9和5，若再添一个负整数m，使得这三个数的平均数小于m，求m的值．
解：依题意得：＜m，
解得：m＞﹣2．
又∵m为负整数，
∴m＝﹣1．
答：m的值为﹣1．
18．（8分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，
∴∠BCD＝100°，
∴∠CBD＝∠D＝40°，
∴∠ABD＝20°．
19．（8分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ．
（2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x．
解：（1）∵[a]＝﹣2，
∴a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1；
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
（2）根据题意得：
3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
解：（1）如图，线段AD，线段AE即为所求．
（2）∵∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CAB＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝15°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（3，﹣1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
（1）请在图中作出△ABC．
（2）将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为A1，B1，请作出平移后的△A1B1O，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
（3）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ΔAB2C2，点B、C的对应点分别为B2、C2，请作出ΔAB2C2，并直接写出点C2，B2的坐标．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求．
（2）如图所示，△A1B1O即为所求，△ABC在CO方向上平移的距离CO＝＝2；
（3）如图所示，△AB2C2即为所求，点C2（﹣4，4），B2（﹣1，5）．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
（1）如图1，连接AE，BD，求证：AE＝BD．
（2）如图2，点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE．求证：BH＝GE．
证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
∴BC＝CE，AB＝DC，AC＝DE，∠ABC＝∠DCE，
即AB＝AC＝CD＝DE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵MN∥BC，
∴∠CGH＝∠ACB，∠CHG＝∠DCB，
而∠ACB＝∠DCE，
∴∠CGH＝∠CHG，
∴CG＝CH，
在△GCE和△HCB中，
，
∴△GCE≌△HCB（SAS），
∴BH＝GE．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD．
（2）∠CAD的度数是 60° ；
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；
（2）解：点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°．
故答案为：60°；
（3）解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
24．（12分）小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
请解答下列问题：
（1）第 三 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）已知A，B两种商品均打六折后再销售，小明同学再次购买A，B两种商品共10件，消费金额不超过200元．求至少购买A种商品的件数．
解：（1）∵第三次购买A，B两种商品的数量多于前两次购买的数量，且消费金额最少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A种商品的原价为x元/件，B种商品的原价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
答：A种商品的原价为30元/件，B种商品的原价为40元/件．
（3）设购买A种商品m件，则购买B种商品（10﹣m）件，
依题意，得：30×0.6m+40×0.6（10﹣m）≤200，
解得：m≥，
又∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A种商品7件．
25．（14分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点A′，连接AA′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（1）由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点A′关于直线l对称，
∴∠APC＝∠A′PC．
∵∠A′PC＝∠BPD，∴∠ APC ＝∠ BPD ，
可得若满足∠ APC ＝∠ BPD ，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（2）如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
（1）解：根据等量代换得，
∠APC＝∠BPD，
故答案是：APC，BPD，APC，BPD；
（2）解：BD＝CE，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∴，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE；
（3）证明：由（2）得：△CAE≌△BAD，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△ADM和△AEN中，
，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴∠DAM＝∠EAN，
∴∠DAM+∠MAE＝∠EAN+∠MAE，
∴∠MAN＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC，
∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/5 0:45:19；用户：王梓锋；邮箱：18813974184；学号：46897787
2022-2023学年福建省三明市尤溪县梅仙中学八年级（下）第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列是一元一次不等式的是（ ）
A．3x≥7 B．x﹣2＜y﹣2 C．5+4＞8 D．x2＜9
2．（4分）如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
4．（4分）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
5．（4分）如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（4，2） D．（4，3）
6．（4分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b＜1的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜0
7．（4分）已知点P（m+1，）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C′在BC上．若∠B'C'B＝52°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．74° C．66° D．64°
9．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝4cm，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝1cm，则OM的长为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．0.5cm
10．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论一定成立的有（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则DA＝DB；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c 0．
12．（4分）已知点Q的坐标为（﹣1，3），若将点Q向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点P，则点P的坐标是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝6，BC＝11，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，则此时BC′的长为 ．
14．（4分）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝BC，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，DE＝3，则BE的长为 ．
16．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知两个有理数﹣9和5，若再添一个负整数m，使得这三个数的平均数小于m，求m的值．
18．（8分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．
19．（8分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ．
（2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x．
20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（3，﹣1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
（1）请在图中作出△ABC．
（2）将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为A1，B1，请作出平移后的△A1B1O，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
（3）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ΔAB2C2，点B、C的对应点分别为B2、C2，请作出ΔAB2C2，并直接写出点C2，B2的坐标．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
（1）如图1，连接AE，BD，求证：AE＝BD．
（2）如图2，点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE．求证：BH＝GE．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD．
（2）∠CAD的度数是 ；
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
24．（12分）小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
请解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）已知A，B两种商品均打六折后再销售，小明同学再次购买A，B两种商品共10件，消费金额不超过200元．求至少购买A种商品的件数．
25．（14分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点A′，连接AA′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（1）由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点A′关于直线l对称，
∴∠APC＝∠A′PC．
∵∠A′PC＝∠BPD，∴∠ ＝∠ ，
可得若满足∠ ＝∠ ，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（2）如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
2022-2023学年福建省三明市尤溪县梅仙中学八年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列是一元一次不等式的是（ ）
A．3x≥7 B．x﹣2＜y﹣2 C．5+4＞8 D．x2＜9
解：A、3x＞7中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；
B、x−2＜y−2中含有两个未知数，故本选项错误；
C、5+4＞8中不含有未知数，故本选项错误；
D、x2＜9中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项错误．
故选：A．
2．（4分）如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
解：∵点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
则a+b的值为：﹣5﹣1＝﹣6．
故选：A．
4．（4分）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
解：由图可得：
①2≠3≠4，故①﹣﹣不等边三角形，故A选项不符合题意；
②三角形中两角相等，故②﹣﹣等腰三角形，
③3＝3＝3，有一个角是60°，故③﹣﹣等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（4，2） D．（4，3）
解：∵B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵DB＝1，
∴OD＝4﹣1＝3，
∴△AOB向右平移了3个单位长度，
∵点A的坐标为（1，2），
∴点C的坐标为：（4，2）．
故选：C．
6．（4分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b＜1的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜0
解：从图象得知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（0，1），并且函数值y随x的增大而增大，因而则不等式kx+b＜1的解集是x＜0．
故选：D．
7．（4分）已知点P（m+1，）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵点P（m+1，）在第二象限，
∴，
解得m＜﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C′在BC上．若∠B'C'B＝52°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．74° C．66° D．64°
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，
∴AC′＝AC，
∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′，
∵∠B′C′B＝52°，
∴∠CC′B′＝180°﹣52°＝128°，
∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′＝×128°＝64°，
故选：D．
9．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝4cm，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝1cm，则OM的长为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．0.5cm
解：作PC⊥OB于点C，
∴∠PCO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝30°，
∵OP＝4cm，
∴OC＝2cm，
∵PM＝PN．MN＝1cm，PC⊥MN，
∴CM＝MN＝cm，
∴OM＝OC﹣CM＝2﹣＝1.5（cm），
故选：B．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论一定成立的有（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则DA＝DB；③点D在AB的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①由作图可得，AD是∠BAC的平分线；故①正确；
②当∠B＝30°时，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD，故②正确；
③∵∠B与∠BAD不一定相等，
∴AD与BD不一定相等，
∴点D不一定在AB的垂直平分线上，故③错误，
∴结论一定成立的有①②，2个．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c ＜ 0．
解：∵a＞b，ac＜bc，
∴c＜0，
故答案为：＜．
12．（4分）已知点Q的坐标为（﹣1，3），若将点Q向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点P，则点P的坐标是 （4，4） ．
解：将点Q（﹣1，3），向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，
∴点P的坐标是（﹣1+5，3+1），
即（4，4），
故答案为：（4，4）．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝6，BC＝11，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，则此时BC′的长为 5 ．
解：如图，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转，当点C的对应点C′落在BC边上时停止，
∴AC′＝AC，
∵∠C＝60°，
∴△ACC′为等边三角形，
∴CC＝AC＝6，
∴BC′＝BC﹣CC′＝11﹣6＝5．
故答案为：5．
14．（4分）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 5x+2（30﹣x）≤100 ．
解：设小张买了x支钢笔，则买了（30﹣x）本笔记本，
根据题意得：5x+2（30﹣x）≤100．
故答案为：5x+2（30﹣x）≤100．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝BC，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，DE＝3，则BE的长为 6﹣6 ．
解：连接EA，
∵D是AC的中点，DE⊥AC，
∴CE＝EA，
∵∠C＝30°，∠CDE＝90°，
∴CE＝2DE＝6，
∴CD＝＝3，
∴CA＝2CD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝6，
∴BE＝6﹣6，
故答案为：6﹣6．
16．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ﹣1＜m≤0 ．
解：不等式组整理得：，
由不等式组的整数解只有3个，得到整数解为0，1，2，
∴﹣1＜m≤0，
故答案为：﹣1＜m≤0．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知两个有理数﹣9和5，若再添一个负整数m，使得这三个数的平均数小于m，求m的值．
解：依题意得：＜m，
解得：m＞﹣2．
又∵m为负整数，
∴m＝﹣1．
答：m的值为﹣1．
18．（8分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，
∴∠BCD＝100°，
∴∠CBD＝∠D＝40°，
∴∠ABD＝20°．
19．（8分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ．
（2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x．
解：（1）∵[a]＝﹣2，
∴a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1；
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
（2）根据题意得：
3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
解：（1）如图，线段AD，线段AE即为所求．
（2）∵∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CAB＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝15°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（3，﹣1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
（1）请在图中作出△ABC．
（2）将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为A1，B1，请作出平移后的△A1B1O，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
（3）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ΔAB2C2，点B、C的对应点分别为B2、C2，请作出ΔAB2C2，并直接写出点C2，B2的坐标．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求．
（2）如图所示，△A1B1O即为所求，△ABC在CO方向上平移的距离CO＝＝2；
（3）如图所示，△AB2C2即为所求，点C2（﹣4，4），B2（﹣1，5）．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
（1）如图1，连接AE，BD，求证：AE＝BD．
（2）如图2，点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE．求证：BH＝GE．
证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABC沿BC方向平移得到△DCE．
∴BC＝CE，AB＝DC，AC＝DE，∠ABC＝∠DCE，
即AB＝AC＝CD＝DE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵MN∥BC，
∴∠CGH＝∠ACB，∠CHG＝∠DCB，
而∠ACB＝∠DCE，
∴∠CGH＝∠CHG，
∴CG＝CH，
在△GCE和△HCB中，
，
∴△GCE≌△HCB（SAS），
∴BH＝GE．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD．
（2）∠CAD的度数是 60° ；
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；
（2）解：点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°．
故答案为：60°；
（3）解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
24．（12分）小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
请解答下列问题：
（1）第 三 次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）已知A，B两种商品均打六折后再销售，小明同学再次购买A，B两种商品共10件，消费金额不超过200元．求至少购买A种商品的件数．
解：（1）∵第三次购买A，B两种商品的数量多于前两次购买的数量，且消费金额最少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A种商品的原价为x元/件，B种商品的原价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
答：A种商品的原价为30元/件，B种商品的原价为40元/件．
（3）设购买A种商品m件，则购买B种商品（10﹣m）件，
依题意，得：30×0.6m+40×0.6（10﹣m）≤200，
解得：m≥，
又∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A种商品7件．
25．（14分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点A′，连接AA′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（1）由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点A′关于直线l对称，
∴∠APC＝∠A′PC．
∵∠A′PC＝∠BPD，∴∠ APC ＝∠ BPD ，
可得若满足∠ APC ＝∠ BPD ，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（2）如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
（1）解：根据等量代换得，
∠APC＝∠BPD，
故答案是：APC，BPD，APC，BPD；
（2）解：BD＝CE，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∴，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE；
（3）证明：由（2）得：△CAE≌△BAD，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△ADM和△AEN中，
，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴∠DAM＝∠EAN，
∴∠DAM+∠MAE＝∠EAN+∠MAE，
∴∠MAN＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC，
∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/5 0:45:19；用户：王梓锋；邮箱：18813974184；学号：46897787
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