2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）每题的选项中只有一项符合题目要求.
1．（5分）﹣2023的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
2．（5分）下列命题中，假命题是（　　）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果a＞c，b＞c，那么a＞b
3．（5分）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝5（x+1）2 B．y＝5（x﹣1）2 C．y＝5x2+1 D．y＝5x2﹣1
4．（5分）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD＝2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6．（5分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，那么以边AC长的倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是（　　）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
7．（5分）如果将抛物线y＝（x+1）2﹣1向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）
8．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（　　）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
9．（5分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（　　）
A．对称轴 B．开口方向
C．和y轴的交点 D．顶点
10．（5分）如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在△ABC的三边上，如果六边形DEFGHI是正六边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）请把答案填在答卷中的相应位置处.
11．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 　 　．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝　 　．

13．（2分）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　 　．

14．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

15．（2分）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP+2EF的最小值为 　 　．

三、解答题（一）（本大题共1小题，满分15分）
16．（15分）计算：
（1）；
（2）（）﹣1+﹣4sin60°；
（3）+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣）﹣2．
四、解答题（二）（本大题共7小题，满分75分）
17．（9分）如图，直线l与a、b相交于点A、B，且a∥b．
（1）尺规作图：过点B作∠ABC的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若∠1＝48°，求∠ADB的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为3cm，则DP的最小值为 　 　cm．

18．（16分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

19．（8分）动手操作题：如图，三角形ABC，按要求画图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；
（2）过点D作BC的平行线，交AB于点E；
通过测量解决下面的问题
（3）写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外） 　 　；
（4）写出一对相等的线段 　 　．

20．（15分）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
21．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为8+2的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．

22．（15分）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）图①是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．


23．（6分）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN＝90°．
求作：矩形ABCD，使AB＝a，AD＝b．

作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AD＝b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝DC＝a，AD＝　 　＝b，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．
∵∠MAN＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ 　 　）（填推理的依据）．


2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）每题的选项中只有一项符合题目要求.
1．（5分）﹣2023的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
2．（5分）下列命题中，假命题是（　　）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果a＞c，b＞c，那么a＞b
【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是假命题，不符号题意；
D、如果a＞c，b＞c，那么a＞b，错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
3．（5分）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝5（x+1）2 B．y＝5（x﹣1）2 C．y＝5x2+1 D．y＝5x2﹣1
【解答】解：将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：y＝5x2+1．
故选：C．
4．（5分）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【解答】解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线．
故选：D．
5．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD＝2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【解答】解：设BC＝3m，AC＝4m，则AB＝5m，
∵BD＝2CD，
∴CD＝m，BD＝2m，
∵DE∥AC，
∴＝2，∠BED＝∠A，
∴EA＝AB＝m，
如图，⊙E与DE交于点H，则HE＝EA＝m，

在Rt△ABC中，由tan∠BED＝＝可得DE＝BD＝m，
∴DH＝DE﹣HE＝m，
∴DC＝DH，
∵∠BCA＝90°，CD为⊙D半径，
∴⊙D与直线AC相切．
故选：B．
6．（5分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，那么以边AC长的倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是（　　）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
【解答】解：如图，取BC边的中点D，连接AD，

Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
可设AC＝6a，BC＝5a，
∴，
∴，，
∴即以边AC长的倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的两圆心的距离等于两圆的半径之和，
∴以边AC长的倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是内切．
故选：C．

7．（5分）如果将抛物线y＝（x+1）2﹣1向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∵顶点坐标（﹣1，﹣1）向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，1）．
故选：D．
8．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（　　）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝2，
∴，即，
∴AC＝4，
∴AC＜8，
∴点C在⊙A的内部，
∵AB＞BC，
∴AB＞8，
∴点B在⊙A的外部，
故选：A．
9．（5分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（　　）
A．对称轴 B．开口方向
C．和y轴的交点 D．顶点
【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，形状不变，故开口方向不变．
故选：B．
10．（5分）如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在△ABC的三边上，如果六边形DEFGHI是正六边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
【解答】解：∵六边形DEFGHI是正六边形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
即△ADE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故A选项结论正确，不符合题意；
同理得出∠B＝∠C＝60°，
即△ABC是等边三角形，
∴AD＝DI＝BI，
即，
∵DE∥BC，
∴＝，
故B选项结论正确，不符合题意；
＝＝，
故C选项结论不正确，符合题意；
＝＝，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）请把答案填在答卷中的相应位置处.
11．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 　（0，﹣7）　．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣7，
∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（0，﹣7），
故答案为：（0，﹣7）．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝　或　．

【解答】解：∵D为AB中点，
∴＝．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则＝＝＝当DE与BC不平行时，DE＝DE′，＝．
故答案是：或．

13．（2分）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　或　．

【解答】解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，

∵l∥BC，
∴，∠MGB＝∠ABC，
又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即，
解得：BM＝，
∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA，
∴，
∴，
解得：GB＝，
∴AG＝AB﹣GB＝，
∵l∥BC，
∴△AGH∽△ABD1，
∴，
∵CD1＝1，
∴BD1＝BC﹣CD1＝3，
∴，
解得：GH＝；
②当点D位于C点右侧时，如图：

与①同理，此时BD2＝BC+CD2＝5，
∴，
解得：GH＝，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
14．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　（1）（3）（4）　（填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

【解答】解：（1）在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，
得：FH＝HK，
即H是FK的中点，故（1）正确；
（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，

∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴，
∴AH＝，HM＝，
∴HN＝4﹣＝，
即HM≠HN，
∵MN∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝，
HC＝，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；
（3）过H分别作HT⊥CD于T，
由（2）知，AM＝＝，
∴DM＝，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝，
∴＝＝，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝＝，
∴，
∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正确．
15．（2分）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP+2EF的最小值为 　2　．

【解答】解：由题意知：当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，所以点P的运动轨迹为圆时，设圆心为O，如图1，连接OC，OM，保持∠COM＝90°满足条件，

正方形ABCD中，BC＝2，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM＝，
∵∠MPC＝∠COM＝45°，
∴⊙O的半径为1，
如图2，连接AC，在OA上取一点N，使ON＝OP，连接PN，AP，OP，

∵∠MCO＝45°，
∴点O在AC上，
∵AC＝＝4，
∴OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝3＝3OP，
∴＝，∠PON＝∠AOP，
∴△PON∽△AOP，
∴，
∵F是PB的中点，E是AB的中点，
∴EF是△ABP的中位线，
∴AP＝2EF，
∴3BP+2EF＝3BP+AP＝3（BP+AP）＝3（BP+PN），
连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交⊙O于点P，过N作NG⊥BC交BC于G，如图3，

∵CN＝OC+ON＝1+＝，
∴NG＝CG＝，
∴BG＝2﹣＝，
根据勾股定理得：BN＝＝＝，
∴3BP+2EF＝3（BP+PN）＝3BN＝2．
故答案为：2．
三、解答题（一）（本大题共1小题，满分15分）
16．（15分）计算：
（1）；
（2）（）﹣1+﹣4sin60°；
（3）+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣）﹣2．
【解答】解：（1）原式＝1+4+2018
＝2023；
（2）原式＝2+2﹣4×
＝2+2﹣2
＝2；
（3）原式＝2+1﹣3+﹣1+
＝．
四、解答题（二）（本大题共7小题，满分75分）
17．（9分）如图，直线l与a、b相交于点A、B，且a∥b．
（1）尺规作图：过点B作∠ABC的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若∠1＝48°，求∠ADB的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为3cm，则DP的最小值为 　3　cm．

【解答】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的∠ABC的角平分线，如图所示：


（2）解：∵a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝24°，
∴∠ADB＝∠CBD＝24°；

（3）解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示：

根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，
∵点D到直线b的距离为3cm，
∴DE＝3cm，
∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l，
∴DE＝DF，
∴DF＝3cm，
∴DP的最小值为3cm．
故答案为：3．


18．（16分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．

19．（8分）动手操作题：如图，三角形ABC，按要求画图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；
（2）过点D作BC的平行线，交AB于点E；
通过测量解决下面的问题
（3）写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外） 　∠EDB＝∠CBD　；
（4）写出一对相等的线段 　EB＝ED　．

【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）如图，DE为所作；

（3）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD；
故答案为：∠EDB＝∠CBD；
（4）∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED．
故答案为：EB＝ED．
20．（15分）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+＝2m﹣，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，
此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
21．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为8+2的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．

【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2中，正方形AEBF即为所求．

22．（15分）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）图①是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．


【解答】解：（1）如图1中，线段CM即为所求．
（2）如图2中，直线n即为所求．

23．（6分）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN＝90°．
求作：矩形ABCD，使AB＝a，AD＝b．

作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AD＝b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝DC＝a，AD＝　BC　＝b，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）．
∵∠MAN＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ 　有一个角是直角的平行四边形是矩形　）（填推理的依据）．

【解答】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；

（2）证明：∵AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠MAN＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．