高中数学高考06第一部分 板块二 专题二 数 列 第1讲　数列、等差数列与等比数列(小题)

这是一份高中数学高考06第一部分 板块二 专题二 数 列 第1讲　数列、等差数列与等比数列(小题)，共8页。试卷主要包含了等差数列、等比数列的基本公式等内容，欢迎下载使用。

热点一 等差数列、等比数列的基本运算
1．等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
等差数列的求和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d；
等比数列的求和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
2．等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
例1 (1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为________．
(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得eq \r(am·an)＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则eq \f(1,m)＋eq \f(9,n)的最小值是________．
跟踪演练1 (1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，aeq \\al(2,5)＝2a7，则S6等于( )
A．31 B.eq \f(63,2) C．63 D.eq \f(31,2)
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为________．
热点二 等差数列、等比数列的性质
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝aeq \\al(2,k).
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.
例2 (1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于( )
A．126 B．130 C．147 D．210
(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝eq \f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)等于( )
A．2 019 B.eq \f(2 019,2) C．2 D.eq \f(1,2)
(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝________.
跟踪演练2 (1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋1)，则eq \f(a6,b6)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(9,14) C.eq \f(20,31) D.eq \f(11,17)
(2)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则eq \f(a2 018－a2 016,a2 014－a2 012)等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于( )
A．－510 B．400
C．400或－510 D．30或40
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
解决数列的综合问题的失分点
(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；
(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)只适用于q≠1的情况．
例3 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于( )
A．1 062 B．2 124 C．1 101 D．1 100
跟踪演练3 (1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为( )
A．31 B．34 C．62 D．59
(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于( )
A．240 B．309 C．310 D．345
热点四 数列的递推关系
由递推关系式求数列的通项公式常用的方法
(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；
(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式．
例4 (1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn＋2＝eq \f(xn＋1,xn)，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2 019＝________.
(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an(an＋1)，若eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1,a1＋1)＋\f(a2,a2＋1)＋…＋\f(an,an＋1)))＝100，则整数n等于( )
A．99 B．100 C．101 D．102
跟踪演练4 (1)数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为( )
A．－100 B．100 C．－110 D．110
(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2 019等于( )
A．2 019 B.eq \f(1,2 019) C．4 037 D.eq \f(1,4 037)
真题体验
1．(2015·全国Ⅰ，文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于( )
A.eq \f(17,2) B.eq \f(19,2) C．10 D．12
2．(2015·全国Ⅱ，文，9)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
3．(2019·全国Ⅰ，文，14)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(3,4)，则S4＝________.
押题预测
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，则m＝________.
2．在等差数列{an}中，a8＝eq \f(1,2)a10＋1，则数列{an}的前11项和S11＝________.
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a1＝8，当a4取最小值时，数列{naeq \\al(2,n)}的前n项和Sn＝________.

A组 专题通关
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝6，S10＝100，则a5等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
2．(2019·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则a4等于( )
A．4 B．5 C．±4 D．±5
3．(2019·安徽江淮十校联考)已知等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,2)，该数列前9项的乘积为1，则a1等于( )
A．8 B．16 C．32 D．64
4．(2019·荆门调研)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．2 D．3
5．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有( )
A．a6≤b6 B．a6≥b6 C．a12≤b12 D．a12≥b12
6．(2019·济南外国语学校模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，则a2 018的值为( )
A．2 017×1 008 B．2 017×1 009
C．2 018×1 008 D．2 018×1 009
7．(2019·衡水中学摸拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx－2 017，x≥2 019，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m,2 018)＋1))x－2 020，x1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15等于( )
A．210 B．211 C．224 D．225
10．(2019·荆门调研)正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6＋a3a5＝128，则下列结论正确的是( )
A．∃n∈N*，Sn>an＋1
B．∀n∈N*，anan＋1≥an＋2
C．∃n∈N*，an＋an＋2＝2an＋1
D．∀n∈N*，an＋an＋3>an＋1＋an＋2
11．(2019·哈尔滨模拟)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( )
A．2eq \r(10) B.eq \f(1,2)eq \r(10) C.eq \r(10) D.eq \f(3,2)eq \r(10)
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an·an＋1)))的前n项和的最大值为( )
A.eq \f(4,9) B．1 C.eq \f(41,81) D.eq \f(151,315)
13．已知数列{an}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a\\al(2,n),n)))(n∈N*)均为等差数列，且a1＝2，则a1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a3,3)))3＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))n＝________.
14．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))，则b2 019＝________.
15．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)已知等比数列{an}的首项为eq \f(3,2)，公比为－eq \f(1,2)，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B恒成立，则B－A的最小值为________．
16．(2019·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1,2Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n)))an＋1，bn＝(－1)n·
(lg3an)2，则数列{bn}的前2n项和为________．
B组 能力提高
17．(2019·宝鸡模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)|a8| D．|a7|