高中数学高考07第一部分 板块二 专题二 数 列 第2讲　数列求和及数列的简单应用(大题)

第2讲　数列求和及数列的简单应用(大题)

热点一　等差、等比数列基本量的计算

解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量．解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略．

例1　已知正项数列是公差为2的等差数列，且a1,9，a2成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

跟踪演练1　(2019·乐山调研)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

热点二　数列的证明问题

判断数列是否为等差或等比数列的策略

(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；

(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可．

例2　已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．

(1)求证：数列{S}为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.

跟踪演练2　已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

热点三　数列的求和问题

1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消．常见的裂项方式有：

＝－；＝；＝；＝.

2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．

例3　(2019·菏泽模拟)已知正项等比数列{an}中，a1＝，且a2，a3，a4－1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝log2a＋4，求数列的前n项和Tn.

跟踪演练3　(2019·龙岩模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝2n·an，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.

真题体验

(2019·全国Ⅰ，文，18)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.

(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

押题预测

已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.

A组　专题通关

1．(2019·全国Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

2．(2019·荆州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；

(3)求数列{an}的通项公式．

3．(2019·江南十校模拟)已知数列{an}中，a2a6＝64，且log2an，log2an＋1,1(n∈N*)成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

B组　能力提高

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.

(1)求证：{bn}是等比数列；

(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；

(3)求证：－<＋＋＋…＋<.

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}满足nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)(n∈N*)，且b1＝1.

(1)证明数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若cn＝(－1)n－1，求数列{cn}的前2n项和T2n；

(3)若dn＝an·，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn－a，求实数a的取值范围．