江苏省淮安市淮阴区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份江苏省淮安市淮阴区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．sin30°的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】sin30°=
故答案为：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出，再直接利用公式求出答案即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了求角度的正切值，勾股定理，熟记正切值的计算公式及勾股定理的计算公式是解题的关键．
3．下列比例式中，不能由比例式得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质，等比性质，合比性质依次判断即可．
【详解】A． ∵
∴
故A选项正确，不符合题意；
B．∵
根据合比性质得
故B选项正确，不符合题意；
C．
根据等比性质得
故C选项正确，不符合题意；
D．由不能得到，
故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，等比性质，合比性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
4．已知∽，它们的周长分别为30和15，且，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【详解】解：∵和的周长分别为30和15，
∴和的周长比为，
∵，
∴，
解得，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5．如图，在中，点D在边上，，交于点E，若，则线段的长是（ ）
A．10B．15C．16D．18
【答案】B
【分析】根据平行线截三角形相似得到，得到，代入数值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线截三角形相似，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．抛物线经过平移，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，解答即可．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移知识，解题关键是理解并掌握二次函数图像的平移规律．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
二、填空题
9．已知，则的值为_____
【答案】
【分析】由，得出，代入所求分式化简即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是比例的性质及分式的化简求值，正确掌握知识点是解题的关键；
10．在中，，，则的值是______．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图：
在中，，，
可以假设，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．
11．如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件．
【详解】解：由题意得，（公共角），
则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
12．已知二次函数的图像过点，则m的值为______．
【答案】2
【分析】把点代入求出m的值即可.
【详解】把点代入得

故答案为：2
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数表达式.二次函数图像上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键.
13．抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的坐标特点．
14．下表中两个变量y与x的数据满足我们初中学过的二次函数关系：
则这个二次函数图像的对称轴为______．
【答案】直线
【分析】根据两个函数值相等的点，其对称轴为直线计算求解即可．
【详解】解：由图表可知与关于对称轴对称，
∴可知该二次函数图像的对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数图像的对称性．
15．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为______米．
【答案】100
【分析】证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即有，
解得米，
即两岸间的大致距离为100米．
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______．
【答案】##
【分析】根据折叠和平行线的性质说明，设，则，证明，得到，代入解方程可得答案．
【详解】解：∵把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，说明是解题的关键．
三、解答题
17．如图，在中，，，，求和．
【答案】，
【分析】由，求的值，在中，由勾股定理得求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴和的值分别为24，26．
【点睛】本题考查了正弦、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?
【答案】AD=2
【分析】作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出，然后证明△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，设AE=x，则DE=x，则，在Rt△BED中，，则BE=5x，再由即可求解．
【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，
∴∠AED=∠DEB=90°
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，
∴
在Rt△BED中，，
∴BE=5x，
∴，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．
19．已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】利用待定系数法，直接把点和代入计算，即可求出答案．
【详解】解：将点和的坐标分别代入表达式，得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
20．如图，四边形是矩形．
（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】(1)根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
(2)利用解直角三角形的知识进行解答即可．
【详解】(1)如图所示：
(2)∵四边形是矩形，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了基本作图，矩形的性质，解直角三角形等，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．
21．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，顶点为点．
(1)观察图像发现：当______时，随的增大而增大；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】（1）将、坐标代入二次函数，求出的值，再求出对称轴即可得到答案；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，得出点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于、两点，
，
解得：，
二次函数的解析式为：，
抛物线的对称轴为：，
当时，随的增大而增大，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，二次函数为，
，
点坐标为，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、把二次函数化为顶点式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及将二次函数化为顶点式．
22．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西方向上，码头A到小岛C的距离为海里．
(1)______度，______度；
(2)求观测站B到的距离．
【答案】(1)，
(2)10
【分析】（1）由题意得，，根据计算求解可得的度数；
（2）如图，过B作，垂足为D，求解，，则，，设，则，根据计算求解的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图，过B作，垂足为D，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∴，
解得，
∴到的距离为10．
【点睛】本题考查了方位角、三角形内角和定理、等腰三角形的判定。解直角三角形的应用等知识．解题的关键在于熟练掌握方位角求角度．
23．如图，正方形的边长为4，点为上的动点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)四边形的面积能否为，若能，求出此时的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）要证，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而和都是的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似；
（2）由，根据相似三角形的对应边成比例，可表示出的长，又由梯形面积为，列出方程即可解决问题；
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形边长为4，
设，
，
，
，
，
，
梯形面积为，
，
整理得：，
△，
梯形的面积不能为．
【点睛】本题考查相似综合题、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．
24．如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，．
(1)的形状为______；
(2)试求线段、、之间的数量关系；
(3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值．
【答案】(1)等边三角形
(2)
(3)
【分析】（1）如图1，连接，由得 ，进而可得，可证，进而可判断的形状；
（2）如图2，在线段上截取使，可证是等边三角形，证明，，则，根据，可得结论；
（3）如图3，连接，记中点为，连接，证明的运动轨迹为绕运动且半径为的圆，连接，可知与的交点即为在上移动时的的最小值时的位置，过作，垂足为，根据题意求出、的值，根据，，，分别求的值，在中，由勾股定理得，求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2）解：，
如图2，在线段上截取使，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的数量关系为．
（3）解：如图3，连接，记中点为，连接，
由题意知且，
即为定长，为定点，
∴的运动轨迹为绕点运动且半径为的圆，
如图3，连接，可知与的交点即为在上移动时的的最小值时的位置，过作，垂足为，
由题意得，，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴在上移动时的的最小值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理、正弦、余弦等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．
25．如图1，已知点，，的平分线交AB于C，动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴向点A作匀速运动，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为秒．
(1)______（用含的代数式表示）；
(2)设与重叠部分的面积为S．
①试求S关于的函数表达式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于的函数图像，试问S是否有最大值？若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②图像见解析；当时，有最大值，最大值为1
【分析】（1）根据P、Q速度表示出、，根据对称的性质得出M、N的坐标，利用勾股定理即可得答案；
（2）如答图1，作辅助线，由比例式求出点的坐标；①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．答图，答图表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；
②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当时，有最大值．
【详解】（1）解：∵点、的速度分别为每秒2个单位长度和每秒1个单位长度，
∴，，
∴，．
对称轴为第一象限的角平分线，点P、Q关于直线OC的对称点为M、N，
，，
∴，，
；
（2）解：如答图1，过点作轴于点，轴于点，
由题意，易知四边形为正方形，设正方形边长为．
轴，
∴，
，即，解得．
点坐标为，；
①当时，如答图所示，点在线段上，重叠部分面积为．
；
当时，如答图所示，点在的延长线上，设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，将、代入得，
解得，
；
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
，
综上所述，；
②画出函数图象，如答图所示：
观察图象，可知当时，有最大值，最大值为1．
【点睛】本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．
…
0
1
3
…
…
0
3
4
0
…