江苏省盐城市亭湖区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份江苏省盐城市亭湖区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省盐城市亭湖区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）．
A． B． C． D．
2．函数的最小值是（    ）
A．1 B． C．3 D．
3．从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为（   ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）．
A． B．且
C． D．且
5．随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班42名同学在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：
金额(元)
20
30
50
100
200
人数(人)
5
16
10
6
5

根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是(     )A．16元，50元 B．30元，30元 C．30元，40元 D．30元，50元
6．乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（    ）．
A．乐乐明天肯定进球 B．乐乐明天有可能进球
C．乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D．乐乐明天的进球率为
7．若抛物线经过点，则的值是（    ）
A．7 B．-1 C．-2 D．3
8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ）

A．25° B．20° C．30° D．35°

二、填空题
9．一元二次方程的根是______________．
10．抛物线的顶点坐标是______．
11．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．
12．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为__________________．
13．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________．
14．若方程的两根是x1，x2，则的值为_____．
15．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
2


m
2
…

则m的值为 ．
16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为_______．

17．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解是________．

18．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为的圆上，则的最小值是______．


三、解答题
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为，求的值．
20．已知二次函数．

(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是_______．
21．某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图：

请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生人数为_________，图1中m的值是_________．
(2)本次调查获取的样本数据的平均数为_________元、众数为_________元、中位数为_________元；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．
22．某校在数学实践活动中，数学组准备了4个活动课题，活动1用作图软件探究抛物线的性质；活动2用旋转设计图案；活动3探究四点共圆的条件；活动4探究旋转前后对应点坐标关系．九1班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成4组，共同“研学”活动课题．
(1)九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是 ___________；
(2)小海和他的好朋友小江希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们在不同小组的可能性能否大于70%？请用树形图或列表法来验证你的判断是否正确．
23．如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？

24．数学活动——旋转变换

(1)如图①，在中，，将绕点C逆时针旋转50°得到，连接，求的大小；
(2)如图②，在中，，，，将绕点C逆时针旋转60°得到，连接，以为圆心，长为半径作圆．
①猜想：直线与的位置关系，并证明你的结论；
②连接，线段的长度为______．
25．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个．
(1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
26．在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在上，点E在外，且.则_________，_________，_________（填“＞”、“＜”或“＝”）
【操作实践】
（2）如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知的半径为2，，点A为优弧上一动点，交AC的延长线于点D．
①求的度数；
②面积的最大值．

27．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2．D
【分析】利用二次函数的顶点式求函数的最小值即可．
【详解】
当 时，y有最小值为-3
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握顶点式的有关性质是解题的关键．
3．A
【分析】拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，根据概率公式求解即可．
【详解】解：拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，
根据概率公式可得，抽中字母u的概率为
故选A
【点睛】此题考查了概率的求解方法，掌握概率的求解方法是解题的关键．
4．B
【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，且，
∴且，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．
5．C
【分析】根据众数与中位数的定义，众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是处在最中间位置的数，即可解答.
【详解】30出现次数最多，出现了16次，所以众数为30，
按从小到大的顺序排列，第21、22个数是30和50，所以中位数为：.
故选：C
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
6．B
【分析】本题考查概率的概念，根据概率的概念逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵乐乐进球的概率为，
∴乐乐明天将参加一场比赛，有可能进球，也有可能不进球，
故选B．
【点睛】本题考查概率的概念及意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
7．A
【分析】把（-2，3）代入即可解得的值
【详解】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7
故选A.
【点睛】本题考查二次函数，解题关键在于熟练掌握计算法则.
8．C
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．x1＝0，x2＝-1
【分析】先移项得到x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：，

x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
所以x1＝0，x2＝-1．
故答案为：x1＝0，x2＝-1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
10．（-2，5）
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-2，5）．
故答案为：（-2，5）
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
11．乙
【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点睛】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
12．1
【分析】先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，即可求解．
【详解】解：，
解得：，，
∴斜边边长为，
∴直角三角形内切圆的半径是．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元一次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据抛物线平移的规律即可得出解析式．
【详解】 抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位

故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的平移规律，即“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律并能够应用数形结合的思想是解题的关键．
14．5
【详解】解：根据题意得
所以
故答案为5．
15．
【分析】先把和代入二次函数解析式求出b、c，确定二次函数解析式，然后计算出自变量为2的函数值即可．
【详解】解：把和代入，
得，解得，
所以二次函数为，
当时，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16．####1.25
【分析】利用弧长=圆锥底面圆的周长这一等量关系可求解．
【详解】设该圆锥底面圆的半径为r．
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴，
∴
∴∠AOB=90°，
∵扇形是一个圆锥的侧面展开图
∴=底面圆的周长
设底面圆的半径
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
17．##
【分析】根据的解即为抛物线与直线的两个交点的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴关于的方程的解是,
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图像的交点的横坐标是解题的关键．
18．
【分析】先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则为最小值，求解即可求解．
【详解】解：令，则，
∴，
令，由，得，，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，
∴，
作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则，，

∴为最小值，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）要证明一元二次方程有两个实数根，只要证明根的判别式即可．
（2）将方程已知根代入方程即可．
【详解】（1）解：由一元二次方程的根的判别式，
取任意实数时，，即，
无论取何值，方程总有两个实数根，
故命题得证．
（2）把代入方程，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是要理解方程的根只与系数有关，（2）题也可以使用韦达定理解题．
20．(1)（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）
(2)见解析
(3)﹣1≤y＜3

【分析】（1）令二次函数=0，解方程即可求得与x轴的交点，令x=0，即可求得与y轴的交点，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据列表，描点连线的方法画出二次函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）令y=0，即
解得
抛物线与x轴的交点为：（1，0），（3，0），
令x=0，解得y=3
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1；
∴顶点坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）
（2）列表如下，
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
1
-1
0
3
…

函数图象如图

（3）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1≤y＜3．
故答案是：-1≤y＜3．
【点睛】本题考查l 抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标画二次函数图象，二次函数的性质．
21．(1)50；40
(2)26.4；30；30
(3)本次捐款金额不少于30元的学生有1288人

【分析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可．
(2)根据加权平均数，众数，中位数的定义计算．
（3）根据样本估计总体的思想计算．
【详解】（1）∵(人)，，
所以接受随机调查的学生人数为50人，，
故答案为：50，40．
（2）根据题意，得，
众数是30元，
中位数是，
故答案为：26.4；30；30．
（3）（人）       
∴本次捐款金额不少于30元的学生有1288人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，众数即出现次数最多的数据、中位数将数据排序后中间数据或中间两个数据的平均数、加权平均数，熟练掌握统计图的意义，三数的概念是解题的关键．
22．(1)
(2)大于70%，见解析

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格，从表格中找到两个人不在同一小组的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是，
故答案为：；
（2）解：他们不在同一小组的可能性能大于70%，
理由：设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格：

A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD

由表可知，共有16种等可能情况，其中两个人不在同一小组的情况有12种，
所以P（两人不在同一小组），
所以他们不在同一小组的可能性能大于70%．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；（2）足球第一次落地点C距守门员14米．
【分析】(1) 设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入，即可求出解析式；
(2)利用令y=0，则﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，求出图象与x轴交点坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，
解得：a=﹣0.05，
则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）当y=0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，
解得：x1=﹣2（舍），x2=14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用， 在实际问题常常构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥、拱门、足球等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
24．(1)65°
(2)①直线是的切线，理由见解析；②

【分析】（1）根据旋转变换的性质得到＝∠ABC＝130°，∠BC＝50°，CB＝C，根据等腰三角形的性质求出的大小；
（2）①根据旋转变换的性质求出＝90°，根据切线的判定定理证明；②根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图①中，∵是由旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①结论：直线是的切线．
理由：如图②中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴直线、是的切线；
②在中，＝90°，B＝BC＝5，A＝AB＝3，
由勾股定理得，B＝．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．

【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；
（2）由（1）及题意可进行求解；
（3）由题意可得，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：由（1）及题意得：
；
（3）解：由题意可得，
解得：，
由（2）可知，
∵，即开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当x=30时，所获利润最大，最大利润为；
答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键．
26．（1）45；90；＜；（2）见解析；（3）
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质可得绪论；
（2）先作等边三角形，然后以O为圆心，为半径画圆，分别与直线m交于点与，则可得绪论；
（3）①连接，先证明是等腰直角三角形，得，再由可得；②点D为的中点时，的面积最大，由三角形面积公式可得绪论
【详解】解：（1）如图1，连接CF，

∵劣弧所对的圆周角是,
∴
∴
又是的一个外角，
∴，即，
故答案为：45；90；＜
（2）如图所示，，即为所求作的点；

（3）①连接OB、OC，
∵半径为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；

②由①知，，，
由探索知点D在如图所示的以为圆心，圆心角的优弧上，
当点D为的中点时，的面积最大，
此时，在等腰直角中，，
∴，
∴，
∴，
即的最大面积为：

【点睛】本题考查圆周角定理、作图-复杂作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题．
27．(1)
(2)
(3)①；②

【分析】（1）根据抛物线与轴交点，写出函数的交点式即可得出结果；
（2）求出直线的表达式为：，得到点纵坐标，利用三角形面积公式求解即可；
（3）①过点N作于点G，求出直线的表达式为：，得到，设，，再根据矩形性质求出他们的坐标，进而得到；②根据①中的相关信息，得出当点B、Q、M共线时，的周长最小，此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴抛物线的表达式为：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴；
（3）解：①过点N作于点G，

∵过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、，
∴，
，
∴；
②∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
又∵，，
∴，
∴，
∴当点B、Q、M共线时，的周长最小，

此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，
∵；，
∴，
把代入得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求表达式、平面直角坐标系三角形面积求解、特殊平行四边形问题和动点最值问题，综合性强、难度较大，熟练掌握相关题型的解题方法是解决问题的关键．