云南省文山壮族苗族自治州2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

云南省文山壮族苗族自治州2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列几何体中，其主视图和左视图不相同的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知反比例函数，则它的图象经过点（　　）

A． B． C． D．

3．方程的解是（    ）

A．， B．， C．， D．，

4．在中，，，，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

5．如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

6．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ）

A．1 B．0 C． D．2

7．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，重复次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，D、E两点分别在、边上，．若，则为（    ）

A． B． C． D．

10．若，，三点均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

11．在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线BD等于（    ）

A．20 B．5 C．10 D．5

12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．计算：________．

14．如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______．

15．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______．

16．在中，，，，以为边作，使得，如果与相似，那么的长为______．

三、解答题

17．如图，在四边形中，对角线相交于点E，平分，且．求证：．

18．小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为，走到C处测得B的仰角为，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到）

19．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？

20．已知抛物线：．

(1)求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点A、B；

(2)若，求m的值．

21．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3，4，5，6的4张牌做游戏．游戏规则是：将4张牌的正面全部朝下，洗匀，先从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下，洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

(2)若这个两位数小于50，则甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？为什么？

22．某饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温与开机时间x/分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温与开机时间x/分钟成反比例函数关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述过程（如图所示）．

(1)当时，求y与x之间的函数关系式；

(2)第二次加热之前，水温保持不低于有多长时间？

23．在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，交于点，连接交于点，且，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，求的长．

24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，连接、，D为线段上的一个动点，过点D作轴，交抛物线于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段的最大值；

(3)点D在运动过程中，是否存在以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】找到从几何体主视图和左视图得到的图形全等的几何体即可．

【详解】解：A．主视图和左视图都是圆，不符合题意；

B．主视图和左视图都是正方形，不符合题意；

C．主视图和左视图都是等腰三角形，不符合题意；

D．主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的概念并能准确判断其主视图与左视图的形状是解答此题的关键．

2．C

【分析】由反比例函数可得：，代入各个选项的坐标点即可求解．

【详解】解：由反比例函数可得：

，故A选项不符合题意；

，故B选项不符合题意；

，故C选项符合题意；

，故D选项不符合题意．

故选：C

【点睛】本题主要考查反比例函数，能根据反比例函数的解析式判断经过的点坐标是解题关键．

3．C

【分析】利用因式分解法解答，即可求解．

【详解】解：，

∴，．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．

4．A

【分析】先根据勾股定理求出的长，然后根据余弦的定义求解．

【详解】解：，，，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是正确理解余弦的定义．

5．D

【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°，等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=∠BCA=45°，

∵AC=AE，

∴∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°，

∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质， 等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

6．D

【分析】根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，

∴，

∴．

故选：D

【点睛】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．

7．B

【分析】根据随机事件概率进行判断即可．

【详解】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，

∴，落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，

∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.52，

故选：B

【点睛】本题考查了频率的稳定性，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理， 可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，熟记频率的稳定性是解题的关键．

8．A

【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．

【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，，

四边形是平行四边形，

A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；

B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；

C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；

D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．

9．C

【分析】根据可知，由可知,即相似比为,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

10．B

【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解．

【详解】∵，

∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，

∵，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．

11．B

【分析】根据菱形的对角线的性质，得出△BCO是直角三角形，且∠CBO=30°，再使用勾股定理进行计算，即可得到答案．

【详解】解：连接AC，交BD于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠BCO=∠BCD=60°，BO=DO，

∴∠CBO=30°，

∴OC=BC=，

∴BO=，

∴BD=2BO=．

故答案选B．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，涉及了勾股定理等相关知识，熟练掌握并使用相关知识，精准识图、仔细计算是本题的关键．

12．D

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点判断A，根据过点，判断B选项，根据抛物线与轴有2个交点判定C选项，根据对称轴为直线，判断D选项，即可求解．

【详解】解：根据函数图象可知，抛物线开口向下，则，对称轴为直线，即，

∴，即，

∴，故D选项正确

抛物线与轴交于正半轴，则，

∴，故A选项错误，

∵抛物线经过点，对称轴为直线，则过点，

∴，故B选项错误，

∵抛物线与轴有2个交点，

∴，故C选项错误，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

13．

【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．

【详解】

故答案为：．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．

14．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得的长，再直接利用勾股定理得出的长．

【详解】解：∵点是斜边的中点，，

∴．

∵，，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．

15．

【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值．

【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点，

∴两点关于原点对称，

∴，

∴，

∵的面积为6，

∴，

又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点，

∴，解得，

∵该反比例函数图像在二、四象限，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．

16．或

【分析】根据三角形相似分情况讨论即可．

【详解】∵，，，

∴

与相似

当时

，

当时

，

故答案为或

【点睛】此题考查了三角形相似，解题的关键根据相似分情况讨论．

17．见解析

【分析】根据可得，根据，从而得出，

然后根据相似三角形对应角相等以及对顶角相等即可得出结论．

【详解】证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵BD平分，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．

18．

【分析】在中，可得，从而得到，在中，根据，即可求解．

【详解】解：在中，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

解得：，

答：教学楼的高度约为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．

19．每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元

【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案．

【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则，

整理得：，

解得：，

∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．(1)见解析

(2)或

【分析】（1）对于来说，当时，，根据一元二次方程根的情况即为抛物线与y轴交点的个数进行证明即可；

（2）令，，解得：，，代入得到关于m的方程，解方程即可得到答案．

【详解】（1）解：对于来说，

当时，，

由题意得：，

∴无论m为何值，有两个不相等的实数根，

∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点A、B；

（2）令，，

解得：，，

∵，即，

解得：或．

【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与x轴交点个数问题和一元二次方程的解法是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)这个游戏公平，理由见解析

【分析】（1）列表格表示出所有可能出现的结果即可；

（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

【详解】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：

由表格可知，共有16种等可能出现的结果；

（2）由（1）可知这个两位数小于50的有8种，

，

这个游戏公平．

【点睛】本题考查了概率，解题的关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．(1)

(2)两次加热之间，水温不低于有9分钟

【分析】（1）分和两种情况，利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）求出时的两个的值，两数相减即可得出结论．

【详解】（1）解：当时，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，

由图象可知，直线过点，

∴，解得：，

∴，

当时，设水温y与x之间的函数关系式为：，

由图象可知，双曲线过点，

∴，解得：，

∴；

综上：；

（2）解：当时：

时，，解得：，

时，，解得：，

，

∴两次加热之间，水温不低于有9分钟．

【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．根据图象，正确的求出函数解析式，是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）结合矩形的性质和折叠的性质，证明，即可证明四边形是菱形；

（2）证明，由相似三角形的性质可得，结合题意即可获得答案．

【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

由折叠可知，，，，，

∵，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．

24．(1)

(2)

(3)存在，满足条件的点的坐标为或

【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点代入即可得；

（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点，则，，从而可利用将表示出来，然后利用二次函数的性质求解即可得；

（3）分三种情况：①，②和③，分别建立方程，解方程即可得．

【详解】（1）解：由题意可设抛物线的解析式为，

将点代入得：，

解得，

则抛物线的解析式为，即为．

（2）解：设直线的解析式为，

将、代入得：，解得，

则直线的解析式为，

设点，则，，

∴，

为线段上的一个动点，

，

由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为．

（3）解：由（2）可知，设点，则，

，

，

，

，

①当时，是等腰三角形，

则，即，

解得或（不符合题意，舍去），

此时点的坐标为；

②当时，是等腰三角形，

则，即，

解得或（不符合题意，舍去），

此时点的坐标为；

③当时，是等腰三角形，

则，即，

解得（不符合题意，舍去），

综上，点在运动过程中，存在以为顶点的三角形是等腰三角形，此时满足条件的点的坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的应用、等腰三角形的定义、两点之间的距离公式，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．