安徽省蚌埠市第二中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

安徽省蚌埠市第二中学2022-2023学年高一下学期第一次月考

数学试卷

姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、单选题（共8小题）

1. (5分)如图所示，在正△ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)

A. 与  B. 与  C. 与  D. 与

【答案】B

【解析】由已知可得PQ AC，向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．

2. (5分)下列说法正确的是(　　)

A. 两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点和终点必相同

B. 若|a|＝|b|，则a＝b

C. 若＝，则A，B，C，D四点能组成▱ABCD

D. 若四边形ABCD为平行四边形，则＝

【答案】D

【解析】表示两个向量的有向线段的起点和终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，则表示两个向量的有向线段的起点和终点未必相同，故A错误．若a＝b，则|a|＝|b|；但若|a|＝|b|，由于方向不确定，所以未必有a＝b，故B错误．若＝，则可能有A，B，C，D四点共线，故C错误．若四边形ABCD为平行四边形，则必有＝，故D正确．

3. (5分)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a是非零向量，则下列说法中错误的是(　　)

A. CA  B. A∩B＝{a}  C. CB  D. A∩B{a}

【答案】B

【解析】由于与a长度相等、方向相反的向量一定与a共线，故A、C正确．又因为与a共线且长度相等的向量可以与a的方向相同，也可以与a的方向相反，故B错误，D正确．

4. (5分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)

A. 与相等的向量只有1个(不含)  B. 与的模相等的向量有9个(不含)

C. 的模恰为的模的倍  D. 与不共线

【答案】D

【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确．由于＝，因此与是共线向量，故选D.

5. (5分)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)等于(　　)

A.   B. －  C. －  D.

【答案】A

【解析】(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1××＝.故选A.

6. (5分)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(　　)

A. 一组  B. 二组  C. 三组  D. 四组

【答案】A

【解析】△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，在如图所示的向量中，相等向量是和，有一组．

7. (5分)下面几个命题：

①若a＝b，则|a|＝|b|；

②若|a|＝0，则a＝0；

③若|a|＝|b|，则a＝b；

④若向量a，b满足则a＝b.

其中正确命题的个数是(　　)

A. 0  B. 1  C. 2  D. 3

【答案】C

【解析】①正确．②正确．③错误.a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．

8. (5分)下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若2BC＝3AC，则该观音塔的高AB约为(　　)(≈1.73)

A. 8米  B. 9米  C. 40米  D. 45米

【答案】D

【解析】不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝x，AB＝AC＋BC＝x，

因为tan ∠ADB＝ABBD,

所以BD＝x，

所以DE＝BD－BE＝(－)x＝51，

所以x＝≈18.02，

所以AB＝x≈45米．

二、多选题（共4小题）

9. (5分)下列说法正确的是(　　)

A. 若非零向量a，b，c，有a∥b，b∥c，则a∥c

B. 与共线

C. 已知向量a，b不共线，且a∥c，b∥c，则c＝0

D. 若||＝||，则四边形ABCD是平行四边形

【答案】ABC

【解析】由共线向量的概念，易知选项A，B，C正确；

若||＝||，模相等，方向不确定，

则，不一定相等，四边形ABCD不一定是平行四边形，故D错误.

10. (5分)在△ABC中,下列说法正确的是(　　)

A. >0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件

B. <0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件

C. “||=||”是“A为直角”的充要条件

D. “||>||”是“A为锐角”的充要条件

【答案】BCD

【解析】>0,∴||||cosA>0,

∴cosA>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.

由<0,可得A为钝角,即△ABC是钝角三角形.

反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.

||=||⇔||=||⇔||2=||2=0⇔A为直角,

故C正确.

同样地,||>||>0⇔A为锐角,故D正确.

11. (5分)在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是(　　)

A. 若＝，则△ABC为等腰三角形

B. 若＝，则△ABC为等腰三角形

C. 若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC为锐角三角形

D. 若a＝bsinC＋ccosB，则∠C＝

【答案】ACD

【解析】：＝有＝，即a2＝b2，故△ABC为等腰三角形，正确．

：＝有sinAcosA＝sinBcosB，

即sin 2A＝sin 2B，0<A，B<π，所以A＝B或A＋B＝，△ABC不一定为等腰三角形，错误．

：tanA＋tanB＋tanC＝＋

＝sinC·(＋)

＝sinC·

＝sinC·

＝＝tanAtanBtanC>0，所以△ABC为锐角三角形，正确．

：a＝bsinC＋ccosB知：sinA＝sin (B＋C)

＝sinBsinC＋sinCcosB，所以cosC＝sinC，

所以tanC＝1，0<C<π，有∠C＝，正确．

12. (5分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcosB＋cosC－cos 2B且c＝，则下列结论中正确的是(　　)

A. C＝

B. C＝

C. △ABC面积的最大值为

D. △ABC面积的最大值为

【答案】BC

【解析】因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcosB＋cosC－cos 2B，

所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosAcosB－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，

所以sinAsinB＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，

由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，

可得cosC＝－，可得C＝，故A错误；B正确；

又c＝，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，解得ab≤1，

当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC＝absinC≤×1×＝，故C正确；D错误．

三、填空题（共4小题）

13. (5分)如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．

【答案】100

【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.

因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.

由正弦定理，得＝，

所以＝.

所以AD＝＝200(米).

在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，

所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos ∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，

所以AC＝100(米).

故石竹山这条索道AC长为100米．

14. (5分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，A，D分别为x轴，y轴正半轴上的动点，过点B作BE⊥OC于点E，则|OC|·|OE|的最大值为________.

【答案】2

【解析】设∠OAD＝θ，因为|AD|＝1，

所以|OA|＝cosθ，|OD|＝sinθ，

则∠BAx＝－θ，|AB|＝1，

所以xB＝cos＋|OA|＝sinθ＋cosθ，

yB＝sin＝cosθ，

即＝(sinθ＋cosθ，cosθ)，

同理C(sinθ，sinθ＋cosθ)，＝(sinθ，sinθ＋cosθ)，

所以·＝(sinθ＋cosθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin 2θ，

所以当sin 2θ＝1时，·的最大值为2，

由数量积的几何意义，得|OC|·|OE|的最大值为2.

15. (5分)在△ABC中，·(－4)＝0，则cosA的最小值为________．

【答案】

【解析】在△ABC中，＝－，

所以·(－4)

＝(－)·(－4)

＝－4||2－||2＋5·

＝－4||2－||2＋5||||cosA＝0，

在△ABC中，设||＝b，||＝c，

则有－4b2－c2＋5bccosA＝0，所以cosA＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立．

16. (5分)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

【答案】

【解析】根据题意，可知DC＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立．

四、解答题（共6小题）

17. (10分)已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.

(1)求|b|的值；

(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．

【答案】解　(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.

因为|a|＝1，所以1－|b|2＝，

所以|b|＝.

(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，

|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，

所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.

令a＋b与a－b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝，

即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.

18. (10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=acosB.

(1)求B的大小;

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

【答案】解 (1)∵bsinA=acosB,

∴sinBsinA=sinAcosB.

∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=,

∵0<B<π,∴B=.

(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.

由(1)知B=,∵b2=a2+c2-2accosB,

∴a2+(2a)2-2a·2a·=9,

∴a=,c=2.

19. (10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶，b＝.

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin的值．

【答案】解　(1)∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，

又b＝，∴a＝2，c＝2.

(2)由余弦定理的推论可得cosC＝＝＝.

(3)由(2)得cosC＝，∴sinC＝＝，

∴sin2C＝2sinCcosC＝2××＝，cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝，

∴sin＝sin2Ccos－cos2Csin＝×－×＝.

20. (12分)在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°，俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°且俯角为60°的C处．

(1)求船的航行速度；

(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离．

【答案】解 (1)如图，在Rt△PAB中，∠PBA＝30°，

所以AB＝＝(km).

同理，在Rt△PCA中，AC＝＝km.

在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，

所以由余弦定理得

BC＝＝km，

所以÷＝2km/h，

所以船的航行速度为2km/h.

(2)作AD⊥BC于点D，连接PD.

当船行驶到D时，离A点距离最小，从而离P点距离最小．

此时，cos ∠CBA＝

＝＝，

所以sin ∠CBA＝，即＝，

所以AD＝km.

所以PD＝＝km.

即船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km.

21. (14分)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】解　由题意知AB＝5(3＋) n mile，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，

在△DAB中，由正弦定理得

＝，

∴DB＝＝

＝

＝＝10(n mile)，

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC

＝30°＋(90°－60°)＝60°，

BC＝20(n mile)，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC

＝300＋1 200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30(n mile).

则需要的时间t＝＝1(h).

答：救援船到达D点需要1 h.

22. (14分)某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点．

(1)求PC间的距离；

(2)在点C测得油井的方位角是多少？

【答案】解 (1)在△ABP中，AB＝30×＝20海里，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，

根据正弦定理得：

＝，

则BP＝＝20(海里).

在△PBC中，BC＝30×＝20(海里)，

由已知∠PBC＝90°，

所以PC＝＝＝40(海里).

(2)在△PBC中，∠PBC＝90°，BC＝20海里，PC＝40海里，

所以sin ∠BPC＝，所以∠BPC＝30°.

因为∠ABP＝∠BPC＝30°，所以CP∥AB.所以在点C测得油井P在C的正南方向40海里处．