安徽省阜阳市第一中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省阜阳市第一中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析），共9页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是( )
A. 与相等的向量只有1个(不含)
B. 与的模相等的向量有9个(不含)
C. 的模恰为的模的倍
D. 与不共线
【答案】D
【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确．由于＝，因此与是共线向量，故选D.
2. 如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点．若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m＋n等于( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】如图，连接AO，
由O为BC中点可得，
＝(＋)＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则·＝( )
A. B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】＝－＝2－，
·＝·(2－)＝2·－·＝2||||cs∠OAE－||·||cs∠BAE＝2||2－||2＝||2＝2＝3.故选B.
4. 已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－3b－4a|＝1，则|c|的取值范围为( )
A. [－1，＋1] B. [1，＋1] C. [5,6]D. [4,6]
【答案】D
【解析】令＝a，＝b，＝3b＋4a，＝c，根据题意作出图象，如图所示，则||＝5.
又|c－3b－4a|＝1，所以点C在以点D为圆心，半径为1的圆上，易知点C与O，D共线时||取到最值，最大值为5＋1，最小值为5－1，所以|c|的取值范围为[4,6]．
5. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )
A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)
【答案】D
【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．
6. 坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】由题意可知，v＝(1，2)，＝(3，6)，则|v|＝＝，||＝＝3，
故所用时间t＝＝＝3.
7. 在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，则AC＝( )
A. B. 5 C. D. 6
【答案】B
【解析】在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，如图所示：
由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cs，
整理得AC2＋3·AC－40＝0，
解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，
所以AC＝5.
8. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )
A. B. 1+ C. 1 D.
【答案】A
【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC及C=60°,得c2=a2+b2-ab,因为(a+b)2-c2=4,
所以a2+b2-c2+2ab=4,得ab=.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A. 存在实数x，使a∥b B. 存在实数x，使(a＋b)∥a
C. 存在实数x，m，使(ma＋b)∥aD. 存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
【答案】ABC
【解析】只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB＝bcsA，a＝3.若点D在边BC上，且BD＝2DC，O是△ABC的外心，则下列判断正确的是( )
A. A＝30° B. △ABC的外接圆半径为
C. OD＝1 D. AD的最大值为2
【答案】BC
【解析】对于A，在△ABC中，A，B，C为其内角，∵asinB＝bcsA，∴sinAsinB＝sinBcsA，又sinB>0，∴tanA＝，A＝60°，故选项A错误；
对于B，∵a＝3，∴＝2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，故R＝，故选项B正确；
对于C，取BC的中点M，连接OM，如图所示，
在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝，由已知得BC＝3且BD＝2DC，故BD＝2，在Rt△DOM中，DM＝BD－BM＝，OD＝＝＝1，故选项C正确；
对于D，∵AD≤AO＋OD＝R＋OD＝＋1，当且仅当圆心O在AD上时取等号，∴AD的最大值为＋1，故选项D错误．
故选BC.
11. 如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. ＝＋ B. ＝＋
C. ＝＋ D. ＝－
【答案】ABD
【解析】＝＋＝＋，A正确；＝＋＝＋＝()＋＝＋，B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．
12. 如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中．( )
A. 40B. 50C. 60D. 70
【答案】CD
【解析】设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．
在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.
设∠MON＝α，由题意，知sinα＝＝，
则csα＝.
由余弦定理，知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcsα，
即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×.
整理，得v2＝＋3 600.
当＝，即t＝时，v＝3 600，
所以vmin＝60，
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，故选CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13. 若正三角形ABC按如图所示的方式放置，AB＝4，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．
【答案】12
【解析】设∠OAB＝θ，θ∈，
则A(4csθ，0)，C，
所以·＝4csθ·
＝4csθ(2csθ＋2sinθ)
＝8cs2θ＋8sinθcsθ
＝4cs 2θ＋4＋4sin 2θ
＝8sin＋4，θ∈，
故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.
14. 已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为 .
【答案】-1或3
【解析】因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b].
又因为向量a,b是两个不共线的向量,
所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3.
15. 若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
【答案】∪
【解析】由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).
又2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6