高中数学高考02练-冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（解析版）

冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（二）

一、单选题

1．设集合，为自然数集，则中元素的个数为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

求出中一元二次不等式的解集确定出，找出与的交集，即可作出判断．

【详解】

解：

解得

即中有个元素，

故选：

【点睛】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．

2．复数满足，则复数的共轭复数是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】

解：由，得，

，

故选：．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】

【分析】

本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可．

【详解】

解：命题“，”是特称命题，

故其否定为：，

故选：

【点睛】

本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．

4．已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则（      ）

A． B． C．28 D．24

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求出，用，表示，再根据计算可得；

【详解】

解：，，且，是互相垂直的单位向量

，

故选：

【点睛】

本题考查向量的数量积的运算律，向量模的计算，属于基础题.

5．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（      ）

A．20 B．21 C．22 D．23

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据等差数列的通项公式及求和公式计算可得；

【详解】

解：因为等差数列中，首项，公差，是其前项和,

所以，,

,

,

解得,

故选：

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

6．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）

A．甲得9张，乙得3张

B．甲得6张，乙得6张

C．甲得8张，乙得4张

D．甲得10张，乙得2张

【答案】A

【解析】

【详解】

试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A．

考点：排列组合问题．

7．已知函数 ，若，使得 成立，则实数的取值范围为 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为  .

本题选择B选项.

点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

8．若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

函数，，则，若函数存在与直线垂直的切线，可得有大于0的解，则，解得，则实数的取值范围是，故选C.

点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数的导函数，结合与直线垂直的切线斜率为，可得有大于0的解，分离参数，求出实数的取值范围.

二、多选题

9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（    ）

A．成绩在分的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图计算可得.

【详解】

解：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，故正确；由频率分布直方图可得，平均分为，故正确；因为成绩在内的频率为0.45，的频率为0.3，所以中位数为，故错误，

故选：.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

10．若函数的图象过点，则结论不成立的是（    ）

A．点是的一个对称中心

B．直线是的一条对称轴

C．函数的最小正周期是

D．函数的值域是

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先将点代入中可得,则化简后,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可

【详解】

由函数的图象过点,

可得,即,,,,

故,

当时,,故A、B都不正确；

的最小正周期为,故C不正确；

显然,,故D正确,

故选:ABC

【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论可能正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解的关系再化简即可.

【详解】

由双曲线的定义有,又,故,.

又,所以.

在焦点三角形中, ,即

,化简得或,即或.

当时即.

当时即.

综上,ABCD均可能正确.

故选：ABCD

【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题.

12．如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面

C．存在点E，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A,根据中位线的性质判定即可.

对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.

对C,根据与平面有交点判定即可.

对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.

【详解】

在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;

在B中,因为,,故,

故.故,又有,

所以平面,故B正确；

在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.

在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.

三、填空题

13．在中，若，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】

设

，最大值为

考点：解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式

14．若二项式（）的展开式中所有项的系数和为，则：

（1）______；

（2）该二项式展开式中含有项的系数为______.

【答案】5    ；   

【解析】

【分析】

（1）取，代入计算到答案.

（2）直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

（1）取，则，故；

（2），取得到系数为.

故答案为：(1)5 ；(2).

【点睛】

本题查看了二项展开式的计算，意在考查学生的计算能力.

15．已知为偶函数，当时，，则_____.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据为偶函数，得到，从而得到答案.

【详解】

∵为偶函数，且时，，

∴.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性求函数值，属于简单题.

16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为_________.

【答案】

【解析】

试题分析：设底面的中心为，则为正四棱锥的高，，设球心为，由一定在线段上，连结，设球的半径为，在中，即，解之得，所以球的体积积为.

考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.

【名师点睛】本题考查.球的切接问题与球的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体是高考常考题型之一，解决这类问题的常用方法：1.球与旋转体的组合体通常通过作出它们的轴截面解题；2.球与多面体的组合体，通常过多面体的一条侧棱和球心，或切点、接点作出截面，把空间问题转化为平面问题求解.

四、解答题

17．正项数列的前n项和Sn满足：

 (1)求数列的通项公式；

(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【详解】

（1）因为数列的前项和满足：，

所以当时，，

即

解得或，

因为数列都是正项，

所以，

因为，

所以，

解得或，

因为数列都是正项，

所以，

当时，有，

所以，

解得，

当时，，符合

所以数列的通项公式，;

（2）因为，

所以

，

所以数列的前项和为：

，

当时，

有，

所以，

所以对于任意，数列的前项和.

18．在中，角所对的分别为，向量，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值.

【答案】（1）（2）2

【解析】

【分析】

（1）根据向量平行关系，结合正弦定理化简即可求解；

（2）结合（1）的结果，利用三角恒等变换，化简为即可求得最大值.

【详解】

（1）因为，所以

由正弦定理知:，

，，

又为三角形内角，故，

所以，，即，为三角形内角，故；

（2）由（1）知:，则所以，

，则，故，

即时，取最大值2.

【点睛】

此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.

19．如图，矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，，，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，根据即可求解异面直线所成角的余弦值；

（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.

【详解】

矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，

同理在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，所以两两互相垂直，

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为，所以，

易得，

（1）由上述点坐标可知，，所以直线与所成角的余弦值；

（2）因为，设平面的法向量为，则

解得，取，可得，

设平面的法向量为，则

解得，取，可得，

设二面角的平面角为，则，

所以.

【点睛】

此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.

20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：

（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

【答案】（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析

【解析】

【分析】

（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.

（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.

（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.

【详解】

（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，

则P（ξ＝2），P（ξ＝3），

则这3天中空气质量至少有2天为优的概率

为；

（2）（i），

，

，

X的分布列如下：

（ii）由（i）可得：

E（X）＝02201480302（元），

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），

即30E（X）＝9060元，

设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，

可得：，

，，

E（Y）＝02201480320（元），

所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），

由19840+9060＝28900＞28800，

即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

【点睛】

本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

21．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称

【解析】

【分析】

（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.

（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

【详解】

解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，

，的方程为.

由得.

设，，则，

∴，，

∴抛物线C的方程为.

（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，

①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），

由得，

，

，.

∵直线PM，PN关于x轴对称，

∴，，.

∴，

∴时，此时.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.

22．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求a，b的值；

（2）若对恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）,

（2）

【解析】

【分析】

（1）求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得；

（2）如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式

【详解】

解：（1）,

因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,

则,解得,

所以,

所以,则,解得

（2）由（1）知,

,

设函数,则,所以在为增函数,因为,

令,得；令,得,

所以当时,；当时,,

所以,

从而,即

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力