高中数学高考03第一部分 板块二 专题一 三角函数、三角恒等变换与解三角形　第2讲 三角恒等变换与解三角形(大题)课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
热点二　利用正弦、余弦定理解三角形
热点三　正弦、余弦定理的实际应用
1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A可得7＝b2＋c2－bc；
跟踪演练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为
解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccs A，
1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.2.解决三角形应用题的基本思路
3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.
解析　如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∴B＝180°－75°－60°＝45°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs 30°
(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600 m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝______m.(精确到1 m)
在Rt△BCD中，因为∠DBC＝30°，
跟踪演练3　(1)如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且AB＝ km，则C，D之间的距离为________km.
解析　在△ABD中，∵∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝60°，
由题意得∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
(2)如图所示，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距 m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为_____m.
解析　设CD＝x，x>0.∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝x.∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴旗杆CD的高度为12 m.
在△ABC中，∵∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 150°，
解析　设BC边上的高AD交BC于点D，
解析　∵sin α＋cs β＝1，①cs α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
2.(2018·全国Ⅱ，理，15)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝_____.
解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
3.(2018·全国Ⅰ，文，16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.
解析　∵A＝30°，C＝45°，c＝3，
又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，