中考数学全面突破：第十五讲　尺规作图、视图与投影 含解析答案

第十五讲　尺规作图、视图与投影

命题点分类集训

命题点1　尺规作图

【命题规律】1．考查内容：五种基本尺规作图的方法.2.考查形式： ①直接考查尺规作图； ②通过作图痕迹判断某种作图或结论的正误； ③作图与证明综合题．

【命题预测】尺规作图是新课标提出的新内容之一， 因此也是全国命题趋势的风向标．

1. 下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是(　　)

1. B

2. 如图，C、E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A、B两点，又分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA、CB、CD.下列结论不一定正确的是(　　)

A. CD⊥l　　　　　　　　　　　　B. 点A、B关于直线CD对称

C. 点C、D关于直线l对称       D. CD平分∠ACB

2. C

3.如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)

A. AG平分∠DAB    B. AD＝DH    C. DH＝BC   D. CH＝DH

3. D

4.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段a及∠ACB.

求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO＝a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

4. 解：作图如解图所示．

【作法提示】根据题意知圆心O到CA、CB的距离相等，即在∠ACB的平分线上，作∠ACB的平分线，如解图中CP，在CP上截取CO＝a，过O作CB的垂线交CB于点D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O即可．

5.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)

5. 解：作图如解图①所示，直线AD即为所求：

图①

【作法提示】①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交BC于另一点E；

②分别以点B、E为圆心，以大于BE长为半径作弧，两弧交于点F；

③作直线AF交BC于点D, 则直线AD即为所求．

【一题多解】 作图如解图②所示，直线AD即为所求：

图②

　　　图③

【作法提示】①以点B为圆心、任意长为半径作弧，交∠B的两边于点P、Q；

②以点A为圆心、BP长为半径作弧，交AC于点M；

③以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；

④连接AN并延长作直线，交BC边于点D，则直线AD即为所求．

作图如解图③所示，直线AD即为所求：

【作法提示】①以点C为圆心、任意长为半径作弧，交∠C的两边于点P、Q；

②以点A为圆心、CP长为半径作弧，交AB于点M；

③以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；

④连接AN并延长，交BC边于点D，则直线AD即为所求．

6.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

(1)作图：

①过B作AC的平行线BH；

②过D作BH的垂线，分别交AC、BH、AB的延长线于E、F、G.

(2)在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

6. 解：(1)作图如解图所示：

(2)△CDE≌△BDF，

证明：∵BH∥AC，

∴∠C＝∠DBF, ∠CED＝∠BFD，

又∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∴△CDE≌△BDF(AAS)．

命题点2　几何体的三视图

【命题规律】1.考查内容：常见几何体、组合体实物图、工件的三视图；2.考查形式：①给出图形，确定其三视图；②给出三视图，确定几何体；③确定常见几何体的三视图中，两个相同的几何体的性质；④计算小正方体组合体视图的面积．

【命题预测】三视图的考查常常以组合体、 常见几何体为基础进行命题，是中考的常考内容，经常出现在选择题中．

7.如图所示的几何体的主视图为(　　)

7. B

8.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是(　　)

8. A

9.如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是(　　)

9. B

10.如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是(　　)

10. D

11.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是(　　)

11. B　【解析】圆锥的主视图是三角形，俯视图是含有圆心的圆，故A不符合题意；长方体的主视图和俯视图都是矩形，故B符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；D选项的主视图是梯形，俯视图是矩形，故D不符合题意．

12.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是(　　)

A. 圆柱　　　　B. 圆锥　　　　C. 球　　　　D. 正方体

12. C　【解析】由三视图都是半径相等的圆得这个几何体是球体．

13.如图是某个几何体的三视图，该几何体是(　　)

A. 圆锥   B. 三棱锥    C. 圆柱    D. 三棱柱

13. D　【解析】由主视图和左视图都是矩形可知这个几何体是柱体，由俯视图是三角形可知这个几何体是三棱柱．

14.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是(　　)

A. 3      B. 4    C. 5     D. 6

第14题图                                              第15题图

14. B　【解析】结合三视图，该几何体各列小正方体的个数体现在俯视图中如解图，故共有4个小正方体．

15.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为________

15. 5　【解析】由题图得，几何体的主视图如解图，∴主视图的面积为5×1＝5.

命题点3　立体图形的展开与折叠

【命题规律】考查的内容和形式： ①求立体图形的表面展开图； ②根据图形的表面展开图合成一个几何体； ③根据正方体的展开图判断对面字或数．

【命题预测】立体图形的展开与折叠是了解立体图形的基础， 也是建立立体图形和平面图形的桥梁， 尤其是近两年考查相对增多，应给予关注．

16.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是(　　)

A. 的  B. 中  C. 国  D. 梦

16. D　【解析】由正方体的展开图情况可得，“我”字一面的相对面上的字是“梦”；“们”字一面的相对面上的字是“中”；“的”字一面的相对面上的字是“国”．

第16题图                    第18题图

17. (2016遂宁)下列各选项中，不是正方体表面展开图的是(　　)

17. C　【解析】∵C中含有“田”字形，∴无法拼成正方体．

18.在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字，如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是(　　)

A. 恩  B. 施  C. 城  D. 同

18. D　【解析】由第一个图可知，“六”与“城”、“同”相邻，由第二个图可知，“六”与“创”相邻，且“创”与“城”相邻，根据同一个面两侧相邻的面是对面，可知“创”与“同”相对．

中考冲刺集训

一、选择题

1. 下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是(　　)

2.如图所示，该几何体的俯视图是(　　)

3. 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是(　　)

4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是(　　)

5.从一个边长为3 cm的大立方体挖去一个边长为1 cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是(　　)

6.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是(　　)

A. 丽　　　　　B. 连　　　　　C. 云　　　　　D. 港

第6题图                第7题图

7.由5个大小相同的正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A. 主视图的面积最小    B. 左视图的面积最小    C. 俯视图的面积最小     D. 三个视图的面积相等

8.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是(　　)

9.将如图所示的图形绕AB边旋转一周，所得几何体的俯视图为(　　)

10.将一个棱长为1的正方体水平放于桌面(始终保持正方体的一个面落在桌面上)，则该正方体正视图面积的最大值为(　　)

A. 2　　　　　B. ＋1　　　　　C. 　　　　　D. 1

11.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是(　　)

A. △EGH为等腰三角形      B. △EGF为等边三角形

C. 四边形EGFH为菱形      D. △EHF为等腰三角形

二、填空题

12.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________．

第12题图                　第13题图                         第14题图

13.在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为________．

14.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________ cm2.

三、解答题

15.如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

16.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)

17.如图，在▱ABCD中，已知AD>AB.

(1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E.在AD上截取AF＝AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

答案与解析：

1. A

2. C　【解析】由题图可以看出，俯视图可见，中间有两条竖线，侧边有两条不可视线段，故选C.

3. C　【解析】A.圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆；B.圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；C.正方体的主视图与俯视图都是正方形；D.三棱柱的主视图是带线的矩形，俯视图是三角形．

4. C

5. C　【解析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．从左面看可得：右上角有一个边长为1 cm的小正方形，由于是挖掉的，所以用虚线画小正方形，A选项中是实线，错误；D选项中的边长大于 1 cm，错误，故选C.

6. D　【解析】本题考查了正方体的展开图，如果以“连”为底，则“的”和“云”分别为左侧面和右侧面，“丽”为上面，则“美”和“港”分别为后面和前面，故本题选D.

第7题解图

7. B　【解析】画出这个几何体的三视图如解图所示，由图可知，主视图与俯视图面积相等，左视图面积最小．

8. C

9. B　【解析】将这个图形绕AB所在的直线旋转一周，得到的几何体由两部分组成，上部分是圆锥，下部分是圆柱，且圆柱的直径小于圆锥底面圆的直径，其俯视图是两个同心圆环，且带圆心，圆环内圆是虚线．

10. C　【解析】当正视图的长边为正方形的对角线时，其面积最大，最大值为：×1＝，故选C.

11. B　【解析】由题中的作图可知EG＝EH＝FG＝FH，易得四边形EGFH为菱形，△EGH为等腰三角形，△EHF为等腰三角形，△EGF为等腰三角形，但不能确定△EGF为等边三角形，故选B.

12. 　【解析】

第12题解图

将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如解图所示，此时AB最短，∵△BCM∽△ACN，∴＝，即＝＝2，即MC＝2NC，∴CN＝MN＝，在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝＝.

13. 5　【解析】底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少由5个小正方体组成．

还原几何体求小正方体个数的方法：一般先由俯视图确定几何体底面小正方体的个数，再由左视图看几何体有几层，最后由主视图判断几何体有几列，最终综合左视图和主视图确定几何体中小正方体的个数．

14. 4π　【解析】由这个几何体的三视图可知，这个几何体是圆锥，表面积＝πrl＋πr2＝π×1×3＋π×12＝4π cm2.

15. 解：如解图，四边形ABCD即为所作图形．

第15题解图

【作法提示】过圆心O作直线交⊙O于B、D两点，作线段BD的垂直平分线，交⊙O于A、C两点，连接AD、DC、CB、AB，四边形ABCD即为所求的正四边形．

16. 解：如解图，直线AD即为所求作直线．

第16题解图

【作法提示】1.分别以点B和点C为圆心，以大于BC长为半径画弧，交BC两侧于两点；

2．连接这两点，交BC于点D；

3．连接AD，并延长，直线AD即为所求作直线．

17.  【思路分析】(1)根据作角平分线的方法作AE，根据作一条线段等于已知线段作AF，再连接EF便可完成作图；

解：(1)作图如解图：

第17题解图

【思路分析】 (2)先证明∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，进而可得BE＝AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．

(2)四边形ABEF是菱形．

证明：在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

∵AB＝AF，

∴AF＝BE＝AB，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABFE是平行四边形，

又∵AF＝AB，

∴四边形ABEF是菱形．