中考数学全面突破：题型6　二次函数综合题 含解析答案

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题型6　二次函数综合题
1.考查类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；2.考查内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关；3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，作出适当的辅助线，联系相应的判定或性质求解．

类型一　二次函数与线段和差问题
1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求AD的长；
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．


















2.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．










3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
(1)填空，点B的坐标是________；
(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．






4.已知二次函数y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．
(1)当k＝时，求这个二次函数的顶点坐标；
(2)求证：关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0(k＞0)有两个不相等的实根；
(3)如图，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q.
求证：＋＝.







类型二　二次函数与图形面积问题
5.如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2









6.已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．







7.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)直接写出抛物线的函数解析式；
(2)以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E.若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
(3)将抛物线向上平移个单位长度(如图②)，若动点P(x，y)在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．








8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．















9.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；
(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．





类型三　二次函数与特殊三角形判定问题
10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

























11.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．









12.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.
(1)求抛物线L的解析式；
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；
(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
图①
　　　　　　图②




















13.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．











14.如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A，点B，点C的坐标；
(2)求直线BD的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．








类型四　二次函数与特殊四边形判定问题
15.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

备用图













16.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.
(1)求抛物线解析式．
(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标．
(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．















17.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．


















18.如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．













19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧．
(1)求a的值及点A、B的坐标；
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式；
(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．










类型五　二次函数与三角形相似、全等问题
20.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2) 求证：△ABC是直角三角形；
(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．




















21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
















类型一　二次函数与线段和差问题
1. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(10，8)，
∴A(10，0)，
∵E(6，8)，O(0，0)，
抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝－x2＋x.
(2)由题意可知：AD＝ED，BE＝|10－6|＝4，AB＝8，
设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，
在Rt△BDE中，
ED2＝EB2＋BD2，
即x2＝42＋(8－x)2，
解得x＝5，
即AD＝5.
(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，
∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，
∴PO＝PA，
因此，l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，
∴当PO＋PD最小时l最小，
∴当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D点的坐标(10，5)代入得：
5＝10 k，求得k＝，
∴直线OD的解析式为y＝x，
当x＝5时，y＝，
∴P点的坐标是(5，)．
2. 解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A(－1，0)，C(0，5)．
∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，则
，
解得c＝5，a＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5.

第2题解图①
(2)如解图①，∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，
∴解－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.
∵点B在x轴正半轴，
∴B(5，0)．
设过B(5，0), C(0，5)的直线BC解析式为y＝kx＋b，则
，
解得k＝－1，b＝5，
∴直线BC表达式为y＝－x＋5.
∵DN⊥x轴，
∴DN∥y轴．
∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，
∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．
∴DN＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x
＝－(x－)2＋.
当x＝时，DN有最大值；
(3)如解图②，作点H关于y轴的对称点H′，点M关于x轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x轴，y轴于点F、E，则四边形HEFM的最小周长为HM＋HE＋EF＋FM＝HM＋H′M′.
∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，
∴H(2，9)，

第2题解图②
∴H′(－2，9)，
当x＝4时，y＝5，
∴M(4，5)，
∴M′(4，－5)．
设直线H′M′的解析式为y＝k′x＋b′，则
，
解得，
∴直线H′M′的解析式为
y＝－x＋.
当y＝0时，x＝，
∴F(，0)；
当x＝0时，y＝，
∴E(0，)．
3. 解：(1)由y＝x2＋得：A(0，)
∵B、O关于A对称，
∴B(0，)
(2)如解图①，∵直线BC过点B(0，)，

第3题解图①
∴直线BC解析式为
y＝kx＋.
∴C(－，0)，
又∵P是直线l上一点，
∴可设P(－，a)．
过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
连接PB，则在Rt△PNB中，由勾股定理得：
PB2＝PN2＋NB2，
∵PB＝PC＝a，
∴a2＝(－)2＋(a－)2，
解得a＝＋，
∴P点坐标为(－，＋)，
当x＝－时，y＝＋，

第3题解图②
∴点P在抛物线上．
(3)如解图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，
∵PB＝PC，
∴∠CBP＝∠PCB，
∵PC∥C′B，
∴∠PCB＝∠ABC，
∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，
∴△PBC为等边三角形，
∵OB＝，
∴BC＝1，OC＝，
∴PC＝1，
∴P(，1)．
4. (1)解：当k＝时，y＝x2－2x＋，
∵，
∴顶点坐标为(1，－)，
(2)证明：∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)
＝4k2＋4k＋1－4k2－4k
＝1，
∵1＞0，
∴原方程一定有两个不相等的实根．
(3)证明：由题意得，A(k，0)，B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，
设PA的解析式为：y＝mx＋n，代入P(0，－1)，A(k，0)，
解得m＝，n＝－1，于是y＝x－1，
设BC的解析式为：y＝sx＋t，代入B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，
解得s＝－k，t＝k2＋k，于是y＝－kx＋k2＋k，
联立，解得Q点坐标为(k＋，)，
运用勾股定理得
AQ2＝(k＋－k)2＋()2＝，
∵OA2＝k2，AB2＝(k＋1－k)2＝1
∴＋＝＝，
∴＋＝.
类型二　二次函数与图形面积问题
5. 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
∴，解得.
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，设点C(x，－x2＋3x)，则
S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2 ∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
第5题解图①


6. 解：(1)令x＝0，得y＝ax2＋bx－3＝－3，
∴C(0，－3)，
把(－1，0)和(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)联立方程组，
解得，，
∵O是AB的中点，
∴x1＋x2＝0，即＋＝0，
解得k＝－2，
∴ ，　，
∴A(－，2)，B(，－2)．
(3)不存在实数k使得△ABC的面积为.理由如下：
假设存在实数k使得△ABC的面积为，
联立方程组，解得
，，
则A(，)，
B(，)，
∴S△ABC＝OC(xB－xA)＝，
∴3×＝3，
∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，
∵b2－4ac＝16－24<0，
∴此方程无解，
故不存在实数k使得△ABC的面积为.
7. 解：(1)y＝x2＋x－2.
【解法提示】∵抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2＋x－2，
(2)由抛物线解析式知：C(0，－2)，
∴E(0，2)，
∵AB＝4，M为AB中点，
∴OM＝1，
∴MC＝＝，
∵∠EDC＝∠MOC, ∠DCE＝∠OCM，
∴△CMO∽△CED,
∴＝，
∴＝，
∴CD＝.
(3)y＝x2＋x－2＝(x＋1)2－，
∵抛物线向上平移个单位长度，
∴平移后抛物线解析式为y＝(x＋1)2－＋，
即y＝(x＋1)2－，

第7题解图
如解图，过点D作DH⊥y轴，过点P作PG⊥y轴，连接PD，PE，设点P的横坐标为x.
∵△CMO∽△CDH,
∴＝＝，
即＝＝，
∴DH＝，CH＝，
∴OH＝CH－CO＝－2＝，
∴EH＝OE－OH＝2－＝，
∴S△PDE＝S梯形DPGH＋S△DHE－S△PEG
＝(－x)[－(x＋1)2＋] ＋××－(－x)[2－(x＋1)2＋]
＝－[(x＋1)2－]＋x＋
＝－x2－x＋2
＝－(x＋)2＋
∵点P位于平移后的抛物线上且位于第三象限，则有，
解得x的取值范围为－1－＜x＜0.
即：S＝－(x＋)2＋(－1－＜x＜0)，
∴当x＝－时，△PDE的面积最大为.
8. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y＝x2＋bx图象上，
将x＝3，y＝3代入得9＋3b＝3，
解得b＝－2，



∴二次函数表达式为y＝x2－2x.
第8题解图①
(2)如解图①所示，过点P作PB⊥QQ1于点B，
∵PQ＝2，且在直线y＝x上，
∴PB＝QB＝2 ，
设P(a，a)，则Q(a＋2，a＋2)，
则P1(a，a2－2a)，Q1(a＋2，(a＋2)2－2(a＋2))，即Q1(a＋2，a2＋2a)，所以四边形PQQ1P1的面积为：
S＝2×
＝－2a2＋2a＋2
＝－2(a－)2＋，
当Q运动到点A时，OP＝OQ－PQ＝，a＝1.
∴a的取值范围为0＜a＜1.
∴当a＝时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为.
(3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，
如解图②所示，连接OM，
∵点M为抛物线顶点，
∴M(1，－1)，
又∵OA所在直线为y＝x，
∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°，在△AOF和△AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，
又∵OM⊥OA，且OM＝，
∴可作两条与OA互相平行且距离为的直线，
如解图②所示，在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF＝S△AOM，∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可，
如解图②，过点A作AC⊥MC于点C，易求四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O′，过O′作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA＝3，
∴AM＝＝2，
∴AO′＝，则△AO′E1∽△AOM，
∴＝＝，
∴＝，

第8题解图②
解得OE1＝，
∵点E1在y＝x上，
∴E1(，)，
同理可得HF2＝GE2＝，
又∵OG＝2OA＝6，
∴OE2＝6－＝，
∴ E2(，)．
综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、E2(，)．
9. 解：(1)把A(－3，0)，B(9，0)，C(0，4)代入y＝ax2＋bx＋c得
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4，
由题意得－x2＋x＋4＝4，
解得x1＝0，x2＝6，
∴点D的坐标为(6，4)．
(2)∵－＝－＝3，＝＝，
∴顶点F的坐标为(3，)，
如解图①易知FO1＝OC＝4，A1O1＝AO＝3，FH＝－4＝.

第9题解图①
∵GH∥AE，
∴GH∥A1O1，
∴＝，
即＝，
∴GH＝1，
∴S四边形A1O1HG＝S△FA1O1－S△FGH＝×3×4－×1×＝.
(3)如解图②，当0＜t≤3时，OO2＝t，△OO2G∽△OED，
∴＝，
∴＝，
∴GO2＝t，
∴S＝×t×t＝t2(0＜t≤3)；
第9题解图②
　　　第9题解图③


如解图③，当3＜t≤6时，设A2C2与OD交于点M，作MG⊥CD，延长GM交x轴于点H，则GH⊥x轴．
易知△C2MD∽△A2MO，△DMG∽△OMH，△ODE∽△ONO2，C2D＝6－t，OA2＝t－3，O2O＝t，GH＝4，O2E＝6－t，
∴＝＝，＝，
∴＝，＝，
∴MH＝，NO2＝t，
∴S四边形A2O2NM＝S△ODE－S△OA2M－S梯形NO2ED
＝12－(t－3)×－
＝12－t2＋4t－6－2t＋－12＋2t
＝－t2＋4t－6(3＜t≤6)．
综上所述，S与t之间的函数表达式为
S＝
类型三　二次函数与特殊三角形判定问题
10. 解：(1)依题意，得，
解得，

第10题解图
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过
A(1，0)，
∴B(－3，0)．
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得，
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接AM，
∵MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
∴点M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，
即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，
即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，
即4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
11. (1)解：当x＝0时，y＝ax2＋bx－3＝－3，
∴C(0，－3)，即OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)证明：由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4可得E(1，－4)，
当x＝0时，由直线y＝－x＋1得y＝1，
∴D(0，1)，即OD＝1，
∴BD＝＝，
∴CE＝，BE＝2，BC＝3，
∴在△ODB和△CEB中，
有＝＝＝，
∴△DBO∽△EBC.
(3)解：存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，
P4(1，)，P5(1，－)．
【解法提示】如解图，过点P作PG⊥y轴于G，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，设P(1，a)，
则PG＝1，GC＝a＋3，PM＝a，
∴PC2＝1＋(a＋3)2，PB2＝4＋a2，CB2＝3()2＝18，
当P是等腰三角形顶点时，PC2＝PB2，
即1＋(a＋3)2＝4＋a2，
解得a＝－1，
∴P1(1，－1)；
当C是等腰三角形顶点时，PC2＝CB2，
即1＋(a＋3)2＝18，

第11题解图
解得a1＝－3＋，a2＝－3－
∴P2(1，－3＋)，
P3(1，－3－)；
当B是等腰三角形顶点时，PB2＝CB2，
即4＋a2＝18，
解得a1＝，a2＝－，
∴P4(1，)，P5(1，－)．
∴存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，P4(1，)，P5(1，－)．
12. 解：(1)解法一：把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝3，
把B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，
得9a＋3b＋3＝0，
又∵－＝1，
∴a＝－1，b＝2，
∴抛物线L的解析式是y＝－x2＋2x＋3.
解法二：设所求抛物线L的解析式为：y＝m(x－1)2＋n，
把B(3，0)，C(0，3)分别代入得，解得，
∴抛物线L的解析式是y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
(2)

第12题解图①
解法一：由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，
如解图①，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E、F，
则＝，∴EF＝2，
∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4.
(3)能，设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，

第12题解图②
垂足分别是点M，N，
∵∠PMB＝∠PNQ＝90°，
∵∠QPB＝90°，∠BPM＝∠QPN，PB＝PQ，
∴△PMB≌△PNQ(AAS)，
∴PM＝PN.
①当点P在x轴上方时，－x2＋2x＋3＝x＋3，
即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，
∴P1(0，3)，P2(1，4)；
②当点P在x轴下方时，－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，
即x2－3x－6＝0，解得x＝＝，
∴P3(，－)，P4(，－)，
∴满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(，－)，P4(，－)．
13. 解：(1)把B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝x2＋bx＋c，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将点B(3，0)，C(0，3)分别代入得，
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
设M(a，a2－4a＋3)，则N(a，－a＋3)，
MN＝－a＋3－(a2－4a＋3)
＝－a＋3－a2＋4a－3
＝－a2＋3a
＝－(a－)2＋.
对于y＝x2－4x＋3，令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
∵M是抛物线在x轴下方的动点，
∴1＜a＜3，
又∵1＜＜3，
∴当a＝时，MN的最大值为.
(3)存在，点P的坐标分别为：P1(2，＋)，
P2(2，－)，P3(2，)、P4(2，－)、P5(2，)．
【解法提示】当线段MN最长时，N(，)，
设此时直线MN与x轴交于点D，又点B(3，0)，
则BN2＝DN2＋DB2＝()2＋(3－)2＝.
(i)当BN为腰长时，又分两种情形：
①当点N为等腰三角形顶角的顶点时，
以点N为圆心，BN的长为半径画圆，与抛物线的对称轴有两个交点P1，P2，如解图．
由抛物线y＝x2－4x＋3知，其对称轴为直线x＝2，
∴P1E2＋NE2＝P1N2＝BN2，
即(2－)2＋NE2＝，解得NE＝.
∴此时P1(2，＋)，P2(2，－)；

第13题解图
②当点B为等腰三角形顶角的顶点时，
以点B为圆心，BN的长为半径画圆，与抛物线的对称轴也有两个交点P3、P4，
同理可得P3(2，)，P4(2，－)；
(ii)当BN为底边时，作线段BN的中垂线与对称轴交于一点P5，如解图．
由点N(，)，B(3，0)，
得线段BN的中点F(，)，
设过点F，且与BC垂直的直线P5F的解析式为y＝x＋q，
则＋q＝，解得q＝－，
∴直线P5F的解析式为y＝x－，
当x＝2时，y＝2－＝，
∴点P5(2，)．
综上所述，存在满足题意的点P共有五个，即P1(2，＋)，P2(2，－)，P3(2，)，P4(2，－)，P5(2，)．
14. 解：(1)当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，解得x1＝4，x2＝－1，
则A(－1，0)，B(4，0)，
当x＝0时，y＝2，则C(0，2)．
(2)依题意知点D坐标为 (0，－2)，设直线BD的解析式为y＝kx＋b，将D(0，－2)和B (4，0)分别代入，得 ，解得k＝，b＝－2，
∴直线BD的解析式为y＝x－2.
(3)易知CD∥QM，若CD＝QM，则四边形CQMD为平行四边形．
∵P(m，0)，
∴yQ＝－m2＋m＋2，yM＝m－2，
则QM＝(－m2＋m＋2)－(m－2)，
∵CD＝4，
∴(－m2＋m＋2)－(m－2)＝4，
解得m＝2或m＝0(舍去)，
故当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形．
(4)存在，设点Q的坐标为(m，－m2＋m＋2)，
则BQ2＝(4－m)2＋(－m2＋m＋2)2，
DQ2＝m2＋[(－m2＋m＋2)＋2]2, BD2＝42＋22＝20.
①当以点B为直角三角形的直角顶点时，则有DQ2＝BQ2＋BD2，
∴m2＋[(－m2＋m＋2)＋2]2＝(4－m)2＋(－m2＋m＋2)2＋20，
解得m1＝3, m2＝4.
∴点Q的坐标为(3，2)，(4，0)(舍去)；
②当以点D为直角三角形的直角顶点时，则有BQ2＝DQ2＋BD2.
∴(4－m)2＋(－m2＋m＋2)2＝m2＋[(－m2＋m＋2)＋2]2＋20，
解得m3＝－1, m4＝8.
∴点Q的坐标为(－1，0)，(8，－18)，
综上所述，所求点Q的坐标为(3，2)，(－1，0)，(8，－18)．
类型四　二次函数与特殊四边形判定问题
15. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，

第15题解图①
∴，解得，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)如解图①，连接PC，PE.
对称轴x＝－＝－＝1，
当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，
∴点D的坐标为(1，4)，
设直线BD的解析式为：y＝mx＋n，
将B(3，0)、D(1，4)分别代入表达式，，解得，则直线BD的解析式为y＝－2x＋6，
设P的坐标为(x0，－2x0＋6)，
∴由勾股定理可得PC2＝x＋[3－(－2x0＋6)]2，
PE2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
∵PC＝PE，
∴x＋(3＋2x0－6)2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
解得x0＝2，y0＝－2×2＋6＝2，
∴P的坐标为(2，2)．
(也可证△DCB，△DEB为直角三角形，则P为斜边BD的中点，或先求CE的垂直平分线的函数关系式，则点P是CE的垂直平分线与BD的交点)
(3)依题意设M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3)．

第15题解图②
如解图②，以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，
∴|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，
① 2－a＝－(－a2＋2a＋3)，
解得a＝，
② 2－a＝－a2＋2a＋3，
解得a＝，
∴M点的坐标为(，0)，(，0)，
(，0)，(，0)．
16. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x轴上，
设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－3)．
∵抛物线过点(0，5)，
∴a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x－3)＝－x2－x＋5.
(2)如解图，过点F作FD⊥AC于点D，
∵OA＝5，OC＝5，
∴∠CAO＝45°.
设AF的长为m，则DF＝m，ME＝AE＝m＋1.
∴sin∠AMF＝，
∴MF＝＝＝m.
在Rt△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，
∴(m)2＝(m＋1)2＋12，

第16题解图
解得m1＝1，m2＝－(不符合题意，舍去)．
∴AF＝1，
∴点Q的横坐标为－4.
又∵点Q在抛物线
y＝－x2－x＋5上，
∴Q(－4，)．
(3)设直线AC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
由题意得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x＋5.
由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同．
设F(t，0)，E(t＋1，0)，点M，N均在直线y＝x＋5上，
∴N(t，t＋5)，M(t＋1，t＋6)，
∵点P，Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，
∴Q(t，－t2－t＋5)，P(t＋1，－t2－t＋4)，
在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：
①点Q、P在直线AC的同侧时，QN＝PM.
∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(－t2－t＋4)－(t＋6)，
解得t＝－3.
∴M(－2，3)．
②点Q，P在直线AC的异侧时，QN＝MP.
∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(t＋6)－(－t2－t＋4)，
解得t1＝－3＋，t2＝－3－，
∴M(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．
∴符合条件的点M是(－2，3)，(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．
17. 解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，
∴点A′的坐标为(4，0)，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将点A(0，4)，
C(－1，0)，A′(4，0)代入得，
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.

第17题解图①
(2)如解图①，连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋b，
将A(0，4)，A′(4，0)代入得，
解得，
∴直线AA′的解析式为y＝－x＋4，
过M作ME⊥x轴，交直线AA′于点E，则E(x，－x＋4)，
设点M的坐标为：(x，－x2＋3x＋4)，
则S△AMA′＝S△AME＋S△A′ME＝ME·OA′＝×4×[－x2＋3x＋4－(－x＋4)]＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，
∴当x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′＝8，
∴M的坐标为(2，6)．
(3)设点P的坐标为(x，－x2＋3x＋4)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，
∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，
∴点B的坐标为(1，4)，
∵点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，如解图②，

第17题解图②
①当BQ为边时，PN∥BQ，PN＝BQ，
∵BQ＝4，
∴－x2＋3x＋4＝±4，
当－x2＋3x＋4＝4时，解得
x1＝0，x2＝3，
∴P1(0，4)，P2(3，4)
当－x2＋3x＋4＝－4时，解得
x3＝，x4＝，
∴P3(，－4)，
P4(，－4)；
②当PQ为对角线时，BP∥QN即BP∥x轴，BP＝QN，此时P与P1，P2重合．
当这个平行四边形为矩形时，即P1(0，4)，P2(3，4)时，N1(0，0)，N2(3，0)．
综上可得：点P的坐标为：P1(0，4)，P2(3，4)，
P3(，－4)，P4(，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为(0，0)或(3，0)．
18. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－.
(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，如解图，则P点即为所求．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，
由题意得，解得，

第18题解图
∴直线BC的解析式为
y＝x－.
∵抛物线y＝x2－2x－的对称轴是x＝2，
∴当x＝2时，y＝x－＝×2－＝－，
∴点P的坐标是(2，－)．
(3)存在．
(i)当存在的点N在x轴的下方时，如解图所示，
∵四边形ACNM是平行四边形，
∴CN∥x轴，
∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，
∵C点的坐标为(0，－)，
∴点N的坐标为(4，－)；
(ii)当存在的点N′在x轴上方时，如解图所示，作N′H⊥x轴于点H，
∵四边形ACM′N′是平行四边形，
∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∠AOC＝∠M′HN′，
∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H(AAS)，
∴N′H＝OC.
∵点C的坐标为(0，－)，
∴N′H＝，即N′点的纵坐标为，
∴x2－2x－＝，
解得x1＝2＋，x2＝2－.
∴点N′的坐标为(2－，)或(2＋，)．
综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为
(4，－)，(2＋，)，(2－，)．
19. 解：(1)把点C(0，－)代入y＝a(x＋1)2－3，
得－＝a－3，解得a＝，
∴y＝(x＋1)2－3，
当y＝0时，有(x＋1)2－3＝0，
∴x1＝2，x2＝－4，

第19题解图①
∴A(－4，0)，B(2，0)．
(2)如解图①，连接CH，
∵A(－4，0)，B(2，0)，
C(0，－)，
D(－1，－3)，
H(－1，0)，
∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝×3×3＋×3×1＋×3×＝10，
根据条件分析，直线l只能与边AD或边BC相交，有以下两种情况：
(i)如解图①，当直线l与边AD相交于点M1时，则S△AHM1＝×10＝3，
∴×3×(－yM1)＝3，
∴yM1＝－2，
∵A(－4，0)，D(－1，－3)，
∴直线AD的解析式为y＝－x－4，
∴M1(－2，－2)，
过点H(－1，0)和M1(－2，－2)的直线l的解析式为y＝2x＋2；

第19题解图②
(ii)如解图②，当直线l与边BC相交与点M2时，同理可得点M2(，－2)，过点H(－1，0)和M2(，－2)的直线l的解析式为y＝－x－.
综上所述：直线l的函数表达式为y＝2x＋2或y＝－x－.
(3)以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形．
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)且过点H(－1，0)的直线PQ的解析式为y＝kx＋b，
∴－k＋b＝0，
∴b＝k，
∴y＝kx＋k.
由，
得x2＋(－k)x－k－＝0，
∴x1＋x2＝－2＋3k，
y1＋y2＝kx1＋k＋kx2＋k＝3k2，
∵点M是线段PQ的中点，
∴由中点坐标公式得点M(k－1，k2)．

第19题解图③
假设存在这样的N点如解图③，直线DN∥PQ，
设直线DN的解析式为y＝kx＋k－3，
由，
解得x1＝－1(舍去)，x2＝3k－1，
∴N(3k－1，3k2－3)，
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN＝DM，
∴DN2＝DM2，即
(3k)2＋(3k2)2
＝()2＋(k2＋3)2，
整理得：3k4－k2－4＝0，即(k2＋1)(3k2－4)＝0，
∵k2＋1＞0，
∴3k2－4＝0，
解得k＝±，
∵k＜0，
∴k＝－，
∴N(－2－1，1)，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(－2－1，1)．
类型五　二次函数与三角形相似、全等问题
20. (1)【思路分析】已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C的坐标．
解：由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1(a≠0)，
∵抛物线经过原点O(0，0)，
∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1，
解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
∵直线y＝x－2与抛物线交于B、C两点，
联立得，
解得或，
∴B(2，0)，C(－1，－3).
(2)【思路分析】要证明△ABC是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．
证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，

第20题解图①


如解图①，由两点距离公式，则AF＝2，CF＝4，CD＝3，BD＝3，BE＝1，AE＝1，
在Rt△ABE中，AB＝＝，
在Rt△BCD中，BC＝＝3，
在Rt△ACF中，AC＝＝2，
在△ABC中，AB2＋BC2＝()2＋(3)2＝20，
AC2＝(2)2＝20，

第20题解图②
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形.
(3)【思路分析】要求是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，由题知，N点在x轴上，M点在抛物线上，可设出N点坐标，得到由未知数x表示的M点坐标，由(2)知△ABC的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N点坐标．由于N点的位置不定，需进行分类讨论．
解：存在．
设N(x，0)，则M(x，－x2＋2x)，
由(2)知，AB＝，BC＝3，
分两种情况讨论：
①若点N在点B右侧，即x＞2，x与－x2＋2x异号，如解图③，△ONM与△ABC相似，则＝ 或＝，
即＝ 或＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝5，x3＝0(舍去)．
∴N的坐标为(，0)或(5，0)；
第20题解图③
　　　第20题解图④


②若点N在点B左侧，即x＜2，x与－x2＋2x同号，如解图④，△ONM与△ABC相似，则＝ 或 ＝，
即＝ 或 ＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝－1，x3＝0(舍去)，
∴N的坐标为(，0)或(－1，0)．
综上所述，存在满足条件的点N的坐标为(，0)或(5，0)或(，0)或(－1，0)．
21. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，
将A、D两点的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8.
∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，
∴点B的坐标为(8，0)，
设直线l的函数表达式为y＝kx，
∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－，
∴直线l的函数表达式为y＝－x.
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，
即点E的坐标为(3，－4)．
(2)抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3－，－4)，(3＋，－4)．
【解法提示】假设存在，
由全等的性质得FO＝FC，
∴点F的纵坐标yF＝yc，
令抛物线的解析式y＝x2－3x－8中x＝0，则y＝－8，
∴C(0，－8)，即yC＝－8，
∴yF＝－4，
将yF＝－4代入抛物线解析式
得x2－3x－8＝－4，
解得x1＝3＋，x2＝3－，
∴F坐标为(3＋，－4)，(3－，－4)，
∴抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE.
(3)需分两种情况进行讨论：
①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，

第21题解图①
∵点E的坐标为(3，－4)，
∴OE＝＝5，
如解图①，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，
则＝，
∴OM＝OE＝5，
∴点M的坐标为(0，－5)，
设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，
将点E(3，－4)代入得3k1－5＝－4，
解得k1＝，
∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，
令y＝0，得x－5＝0，
解得x＝15，
∴点H的坐标为(15，0)．
又＝，
∴＝，
∴m＝－；

第21题解图②

②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，延长CE，交x轴于点N，如解图②，
当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，
∴点C的坐标为(0，－8)，
∴CE＝＝5，
又∵OE＝＝5，∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB，
∴＝，
设直线CE的解析式为y＝k2x－8，代入点(3，－4)，
得3k2－8＝－4，
∴k2＝，
∴直线CE的解析式为y＝x－8.
令y＝0，则x－8＝0，
解得x＝6，
∴点N的坐标为(6，0)，
又＝，
∴＝，
解得m＝－.
综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．